% Verteilung der 10

Mathematische Zusammenhänge des Skatspieles

% Verteilung der 10

Beitragvon mannikr » 26. Sep 2012 16:20

Hi,

wer kann mir denn mal ausrechnen, wie die %-Verteilung dieser Farbe sein kann.
Es geht um ein Spiel mit Aufnahme

AS führt
klkras klkrko klkr08


GP hat
a) alle 4 auf einer Hand
b) 10 zu dritt
c) 2:2 Verteilung
d) blanke 10


Danke schön
Zuletzt geändert von mannikr am 26. Sep 2012 17:08, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: % Verteilung der 10

Beitragvon HomerJay » 26. Sep 2012 16:37

Die letzte Frage kann ich Dir beantworten. Im Falle a) ist 4:0 ist genauso wahrscheinlich wie 0:4. Im Falle b) ist die 10 zu dritt in MH ebenso wahrscheinlich wie die 10 zu dritt in HH. c) Wenn MH zwei Kreuzen hält, so beträgt die Wahrscheinlichkeit grob geschätzt um die 99,9%, dass HH die beiden anderen auf der Hand hat. Und, was überraschend wirken mag: die Wahrscheinlichkeit dass eine zehn blank sitzt, ist für MH und HH identisch!

Möglicherweise habe das falsch verstanden - aber mal ernsthaft, was meinst du denn genau mit der letzten Frage?
Der Optimist glaubt, dass wir in der besten aller möglichen Welten leben, und der Pessimist befürchtet, dass das stimmt.
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Re: % Verteilung der 10

Beitragvon marvin » 29. Sep 2012 21:23

Ich glaube, die Antwort von HomerJay hat nach dem Editieren des Ausgangsposts überhaupt nichts mehr mit demselben zu tun. Deshalb von mir die Auflösung der nunmehr einzig verbliebenen Frage.

Solche Prozentzahlen kannst du wie folgt ausrechnen. Einer der beiden Spieler hat die Zehn, diesen Spieler bezeichnen wir mit Z (es ist egal, ob das dein linker oder rechter Gegenspieler ist). Den anderen nennen wir N. Nun sind noch 19 Karten auf die beiden Gegenspieler zu verteilen. Z bekommt davon 9, N 10. Hierfür gibt es insgesamt
(19 über 9) = (19 über 10) = 92.378 Möglichkeiten.

Dabei bezeichnet (a über b) den Binomialkoeffizienten, den man wie folgt berechnet:
(a über b) = a! / ( b! * (a-b)! )
mit a! = a * (a-1) * (a-2) * ... * 2 * 1

Nun musst du noch ausrechnen, wie viele von diesen Möglichkeiten im jeweiligen Fall "günstig" sind. Das geht wie folgt:

a) Z muss alle drei Karten der Farbe haben. Er bekommt von den restlichen 16 Karten noch 6. Das sind
(16 über 6) = 8.008 Möglichkeiten. Hieraus folgt eine Wahrscheinlichkeit von
8.008 / 92.378 = 8,7%

b) Z muss zwei der drei Karten der Zehnerfarbe und 7 der restlichen 16 Karten haben. Das sind
(3 über 2) * (16 über 7) = 34.320 Möglichkeiten
Wahrscheinlichkeit = 34.320 / 92.378 = 37,2%

c) Z muss eine der drei Karten der Zehnerfarbei und 8 übrige Karten haben
(3 über 1) * (16 über 8) = 38.610
38.610 / 92.378 = 41,8%

d) Z muss 9 übrige Karten haben
(16 über 9) = 11.440
11.440 / 92.378 = 12,4%

Durch rundungsbedingte Abweichungen kommen in Summe 100,1% heraus, das soll uns nicht weiter stören. Viel wichtiger ist die immer wieder betonte Anmerkung, dass die Prozentzahlen nur gelten, wenn die 20 dem Alleinspieler unbekannten Karten völlig willkürlich auf die zwei Gegenspieler verteilt sind, was in der Praxis eher selten vorkommt (nicht perfektes Mischen, Anhand des Reizens usw. sind bestimmte Verteilungen auszuschließen, ...)

Man sieht an diesem Beispiel auch schön, dass eine 3:1-Verteilung (Fall b und d zusammengerechnet) mit fast 50% wahrscheinlicher ist als 2:2. Es ist auch klar, dass von den 3:1-Fällen die blanke Zehn viel seltener ist als die Zehn zu dritt. Denn von den vier Karten könnte auch jede andere allein stehen, weshalb es dreimal so viele Möglichkeiten der Zehn zu dritt gibt wie für die blanke Zehn.
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