Die verdrehte Wahrscheinlichkeit

Mathematische Zusammenhänge des Skatspieles

Wenn wir wissen dass die Verteilung 3:3 oder 2:4 ist, so ist die Verteilung 3:3 doch etwas wahrscheinlicher?

Ja
0
Keine Stimmen
Nein
10
100%
 
Abstimmungen insgesamt : 10

Die verdrehte Wahrscheinlichkeit

Beitragvon spock2009 » 15. Feb 2011 14:15

Hallo Kollegen, ich muss mal was lustiges loswerden.

Also, wir haben 5 Trümpfe (also schon mal kein Grand 8) )und die Gegner folglich 6.

Die Wahrscheinlichkeit für 3:3 ist 37,15% und
die Wahrscheinlichkeit für 2:4 ist 48,76%.

Überrascht wohl sicher niemanden. Aber jetzt ziehen wir zwei mal Trumpf und beide Gegner bedienen fleißig. Es verbleiben 2 Trümpfe bei den Gegnern von den übrigen 16 Karten, die sie noch halten und jetzt ist

die Wahrscheinlichkeit für 3:3 bei 53,33% und
die Wahrscheinlichkeit für 2:4 bei 46,67%.

Dabei konnte es in beiden oberen Fällen gar nicht anders laufen. Wieso verdrehen sich denn nun die Wahrscheinlichkeiten? :shock:

(Ist übrigens ein bekanntes Paradox in der Wahrscheinlichkeitstheorie, aber immerwieder lustig, gell)

Mal anderes gefragt: Bedeutet obiges etwa: Wenn wir wissen dass die Verteilung 3:3 oder 2:4 ist, so ist die Verteilung 3:3 doch etwas wahrscheinlicher :?:
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Beitragvon Skatfuchs » 15. Feb 2011 17:13

Hallo Spock 2009,

deine Zahlen stimmen.
Berechnet wird das bekanntlich nach der sogenannten hypergeometrischen Verteilung, die auch bei den Lottozahlen ihre Anwendung findet.
So z.Bsp. für die Verteilung von 6 Karten auf 4:2:
=HYPGEOMVERT(4;10;6;20)+HYPGEOMVERT(2;10;6;20) = 48,76%

"Lustig" ist an der Sache der Trumpfverteilung wohl noch mehr deren praktische Konsequenz, da es noch eine große Anzahl selbst fortgeschrittener Spieler gibt, die meinen, dass eine 3:3 Verteilung häufiger wäre als 4:2 und sich "wundern", warum ihre 5-Trümpfer so häufig den "Bach runtergehen". :lol:

Das sich die Wahrscheinlichkeit von Stich zu Stich ändert, ist auch begründbar, da man dann andere Verteilungen; z.Bs. 6:0 nach den ersten Stich oder 5:1 nach dem zweiten ausschließen kann.

Fast noch interessanter ist die Tatsache, dass zwei Karten auch nicht zu 50% auf einer Hand stehen, oder verteilt sitzen.
Deren Wahrscheinlichkeit beträgt 52,63%, dass sie verteilt sitzen und "nur" 47,37% dass diese auf einer Hand stehen.
Man hat also bei einem "Bubenspringer" mehr als 50% Wkt. dafür, dass dieser gelingt. :wink:

Ob es hilft, steht auf einem anderen Blatt ...
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Beitragvon erasmus » 15. Feb 2011 22:41

Hallo Zusammen!

Ich kann dieses "Paradoxon" auflösen. Spock hat mit den Wahrscheinlichkeiten beim 5-Trümpfer (nach Skataufnahme!) vor dem ersten Stich völlig recht. Um es noch etwas exakter zu formulieren:

Um 20 Karten (6 Trümpfe und 14 Restkarten) auf zwei Gegenspieler (GS1 und GS2) zu verteilen, gibt es 184.756 Möglichkeiten. Davon entfallen

68.640 Möglichkeiten auf eine 3:3-Verteilung (37,15 %)
45.045 Möglichkeiten auf eine 4:2-Verteilung (24,38 %)
45.045 Möglichkeiten auf eine 2:4-Verteilung (24,38 %)

Nun zu Spock's Überlegung: Wenn der Alleinspieler in Vorhand sitzt und zu Beginn den Gegnern 4 Trümpfe abziehen kann, dann gibt es für die Verteilung der 4 bedienten Trümpfe und der 16 noch unbekannten Karten (2 Trümpfe und 14 Restkarten) auf die Gegenspieler 193.050 Möglichkeiten. Davon entfallen

102.960*) Möglichkeiten auf eine 1:1-Verteilung ("53,33 %")
45.045**) Möglichkeiten auf eine 2:0-Verteilung ("23,33 %")
45.045**) Möglichkeiten auf eine 0:2-Verteilung ("23,33 %")

Lässt sich daraus wirklich schließen, dass eine 3:3-Verteilung nun wahrscheinlicher gegenüber einer 4:2- bzw. 2:4-Verteilung geworden ist? NEIN, da Spock die Trümpfe, die auf die ersten beiden Stiche von den Gegenspielern bedient wurden, in seiner Rechnung nicht korrekt berücksichtigt hat.

Wie müssen diese Trümpfe aber in der Rechnung berücksichtigt werden? Sehen wir uns dafür die Situation bei einer 3:3-Verteilung mal etwas genauer an:
GS1: 3 Trümpfe + 7 Restkarten
GS2: 3 Trümpfe + 7 Restkarten
Beim Bedienen in den ersten beiden Stichen, haben beide Gegenspieler 3 Möglichkeiten, einen ihrer Trümpfe zum Aufheben auszuwählen. Insgesamt haben die Gegenspieler damit 3*3=9 Möglichkeiten, die beiden verbleibenden Trümpfe auszuwählen.
Bei einer 4:2-Verteilung dagegen sieht die Sache folgendermaßen aus:
GS1: 4 Trümpfe + 6 Restkarten
GS2: 2 Trümpfe + 8 Restkarten
In diesem Fall kann GS1 zwei seiner vier Trümpfe aufheben und hat dafür 6 Auswahl-Möglichkeiten. GS2 hat dagegen keine Wahl (1 Möglichkeit), da er beide Trümpfe zugeben muss. Insgesamt haben die Gegenspieler damit 6*1=6 Möglichkeiten, die beiden verbleibenden Trümpfe auszuwählen.

Die Gegenspieler haben also bei einer 3:3-Verteilung 1,5-mal mehr Möglichkeiten, die Trümpfe zum Bedienen auszuwählen, als bei einer 4:2-Verteilung. Demnach haben die 1:1-Verteilungen nach 2 Stichen ein kleineres statistisches Gewicht als die 2:0- bzw. 0:2-Verteilungen. Anders ausgedrückt: Durch das Abziehen zweier Trümpfe, sind nicht mehr alle sich daraus ergebenden Verteilungen gleichwahrscheinlich!

Eine beliebige der in *) angegebenen 102.960 Möglichkeiten für 1:1-Verteilungen hat eine um den Faktor 1,5 reduzierte Wahrscheinlichkeit gegenüber einer der in **) angegebenen 45.045 Möglichkeiten für eine 2:0- bzw. 0:2-Verteilung. Die korrekten Wahrscheinlichkeiten für die Kartenverteilung nach 2 Stichen lauten somit:

(102.960/(1,5))/(102.960/(1,5)+2*45.045) = 43,24 % für 1:1
(45.045/(102.960/(1,5)+2*45.045) = 28,38 % für 2:0
(45.045/(102.960/(1,5)+2*45.045) = 28,38 % für 0:2

Diese Wahrscheinlichkeiten sind mit den Wahrscheinlichkeiten für 3:3 und 4:2 bzw. 2:4 zu Beginn identisch, wenn die Verteilungsmöglichkeiten 5:1, 1:5, 6:0 und 0:6 ausgeschlossen werden.

Dass im diskutierten Beispiel nicht alle Verteilungsmöglichkeiten nach 2 Stichen die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, kann man auch tagtäglich beim Skatspielen beobachten. Hierzu ein Beispiel:

VH (AS, Herz):
krbu pibu heko heda he08
kras kr10 kr07 pi10 piko
gedr.: kako ka08

1. krbu he07 kabu
2. pibu he09 heas

oder auch:

1. krbu he09 he07
2. pibu kabu heas

Ob man so spielen sollte sei an dieser Stelle mal dahingestellt. Aber ist nach diesen Stichen nun eine 3:3- oder eine 4:2-Verteilung wahrscheinlicher? :wink:

Lange Rede, kurzer Sinn:
Beim 5-Trümpfer ist die Wahrscheinlichkeit für einen 3:3-Sitz nach zwei Trumpfrunden immer noch kleiner, als die Wahrscheinlichkeit für einen 4:2-Sitz.
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Beitragvon spock2009 » 16. Feb 2011 18:57

Hallo erasmus,

deine Erläuterungen geben die Antwort auf meine Umfrage. Aber die Wahrscheinlichkeit nachdem ich zwei Trümpfe abgezogen habe ist tatsächlich ab dem 3. Stich größer, dass die restlichen zwei Trümpfe verteilt liegen, als in einer Hand. Die Trumpfauswahl der Spieler ist ja nun mal getroffen. Trotzdem sind 53% nicht gerade etwas auf das man pokern sollte, oder?
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Beitragvon erasmus » 16. Feb 2011 19:32

Hallo spock,

du liegst falsch! Die Wahrscheinlichkeit nach zwei Trumpfrunden (wenn zwei mal von beiden Gegenspielern bedient wurde) liegt bei 43,24 % für 1:1 und bei 56,76 % für 2:0 bzw. 0:2.

Du verwechselst zwei unterschiedliche Aufgabenstellungen!

Aufgabe 1:
20 Spielkarten mit 6 Trümpfen werden auf die beiden Gegenspieler verteilt. Der Alleinspieler in Vorhand zieht zweimal Trumpf, worauf die Gegenspieler insgesamt 4 Trümpfe zugeben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die restlichen Trümpfe 1:1 stehen?
Antwort: 43,24 %

Aufgabe 2:
20 Spielkarten mit 6 Trümpfen werden auf die beiden Gegenspieler verteilt. Der Alleinspieler in Vorhand zieht zweimal Trumpf, worauf die Gegenspieler insgesamt 4 Trümpfe zugeben. Nun werden die verbliebenen 16 Karten der Gegenpartei (inkl. der 2 verbliebenen Trümpfe) vom Geber zusammengeworfen, gemischt und an die beiden Gegenspieler neu verteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die restlichen Trümpfe 1:1 stehen?
Antwort: 53,33 %

Du wolltest Aufgabe 1 zu lösen, hast in Wirklichkeit aber Aufgabe 2 gelöst. Sowohl für Aufgabe 1 als auch für Aufgabe 2 gibt es 193.050 Möglichkeiten, 4 Trümpfe auszuwählen und die restlichen 16 Karten auf zwei Spieler zu verteilen. ABER:

    In Aufgabe 2 sind alle diese Möglichkeiten gleichwahrscheinlich.
    In Aufgabe 1 sind NICHT ALLE Möglichkeiten gleichwahrscheinlich.


Aus diesem Grund, kann Aufgabe 1 nicht gelöst werden, indem zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der Quotient (Anzahl günstiger Verteilungen)/(Anzahl möglicher Verteilungen) gebildet wird. Vielmehr müssen die Verteilungen, wie von mir beschrieben, gewichtet werden.

Es gibt keine "verdrehte Wahrscheinlichkeit"!

Schöne Grüße,
erasmus
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Beitragvon marvin » 16. Feb 2011 21:38

Sehr guter und wichtiger Beitrag! Letztlich liefert er die Begründung dafür, warum so oft die Wahrscheinlichkeitsrechnungen im fortgeschrittenen Stadium eines Spiel Ergebnisse liefern, die gefühlsmäßig nicht stimmen. Weil man - und ich tappe oft genug selbst in diese Falle - davon ausgeht, dass alle theoretisch denkbaren Verteilungen der Restkarten auf die beiden Hände gleich wahrscheinlich sind. Aber dabei vernachlässigt man die Informationen aus den ersten Stichen.

Besonders krasses und hoffentlich für alle einleuchtendes Beispiel: Ich habe 7 Trumpf mit den beiden höchsten Buben. Ich ziehe den Alten vor und MH legt Trumpf-Ass, HH eine Lusche drauf. Wie wahrscheinlich ist es, dass MH noch einen weiteren Trumpf hat? Rein rechnerisch können die zwei fehlenden Trümpfe 1:1 oder 0:2 stehen und man kommt auf die berühmten 52:48. Aber wenn MH am Anfang zwei Trümpfe hatte, warum legt er dann das Ass auf den Alten?
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Beitragvon erasmus » 16. Feb 2011 23:28

Völlig richtig, marvin!

Dein Beispiel mit dem 7-Trümpfer ist wahrscheinlich wirklich besser (weil einfacher und einleuchtender) als meine Beispiele der ersten beiden Trumpfrunden mit dem 5-Trümpfer.

Um es nochmal auszuführen:
Nehmen wir an, der Alleinspieler in Vorhand hat folgenden 7-Trümpfer in Kreuz:
krbu pibu kr10 krda kr09
kr08 kr07 pias heko he08
gedrückt: kada ka07

Für die Verteilung der 20 Restkarten auf die beiden Gegenspieler gibt es mal wieder 184.756 Möglichkeiten. Davon entfallen
8.008 Möglichkeiten auf eine 4:0-Verteilung (4,33 %),
45.760 Möglichkeiten auf eine 3:1-Verteilung (24,77 %),
77.220 Möglichkeiten auf eine 2:2-Verteilung (41,80 %),
45.760 Möglichkeiten auf eine 1:3-Verteilung (24,77 %),
8.008 Möglichkeiten auf eine 0:4-Verteilung (4,33 %).

Insgesamt haben wir somit:
41,80 % für einen 2:2-Stand
49,54 % für einen 3:1-Stand
8,66 % für einen 4:0-Stand


Wenn nun im ersten Stich vom Alleinspieler Kreuz-Bauer gezogen wird, gibt es zwei Möglichkeiten:
A1) Beide Gegenspieler bedienen (2:2- oder 3:1-Stand) zu 91,34 %,
B1) Nur ein Gegenspieler bedient (4:0-Stand) zu 8,66 %.


Beim Eintreten von Fall A1) muss man nun aufpassen, nicht in die "Stochastik-Falle" zu tappen! Wenn beide Gegenspieler einen Trumpf bedienen und der Alleinspieler zum zweiten Stich Pik-Bube ausspielt, dann gibt es erneut zwei Möglichkeiten:
A2) Beide Gegenspieler bedienen (2:2-Stand) zu (41,80 %)/(91,34 %) = 45,76 %,
B2) Nur ein Gegenspieler bedient (3:1-Stand) zu (49,54 %)/(91,34 %) = 54,24 %.

Diese Wahrscheinlichkeiten können ganz einfach und "intuitiv" mit der Bedingten Wahrscheinlichkeit (siehe z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_W ... inlichkeit) berechnet werden.

Würde man versuchen, die Wahrscheinlichkeit für die Fälle A2) und B2) über eine gleichwahrscheinliche Verteilung der 18 Restkarten auf die Gegenspieler zu berechnen, so käme man auf ein anderes Ergebnis:
Für die Verteilung von 18 Karten mit 2 von ursprünglich 4 Trümpfen auf zwei Spieler gibt es 291.720 Möglichkeiten. Davon entfallen
68.640 Möglichkeiten auf eine 2:0-Verteilung ("23,53 %"),
154.440 Möglichkeiten auf eine 1:1-Verteilung ("52,94 %"),
68.640 Möglichkeiten auf eine 0:2-Verteilung ("23,53 %").
Also:
A2) Beide Gegenspieler bedienen (2:2-Stand) zu 52,94 %,
B2) Nur ein Gegenspieler bedient (3:1-Stand) zu 47,06 %.

Dieses Ergebnis würde bedeuten, dass eine Gleichverteilung der Trümpfe plötzlich wahrscheinlicher ist, als ein 3:1-Stand. Das widerspricht - wie marvin richtig bemerkt - der Intuition und ist mathematisch falsch!

Man könnte die Begründung, dass der zweite Lösungsweg falsch ist, auch so formulieren:
Damit die Verteilungsmöglichkeiten von X Karten auf zwei Gegenspieler alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten, ist ein Mischen und Verteilen dieser Karten auf die Gegenspieler nötig. Da beim Skatspiel aber nur vor dem ersten Stich gemischt und verteilt wird, sind auch nur zu Beginn des Spiels alle Verteilungsmöglichkeiten gleichwahrscheinlich! Um im weiteren Spielverlauf eine wahrscheinlichkeitstheoretische Aussage über bestimmte Kartenstände machen zu können, müssen die möglichen Restverteilungen korrekt gewichtet werden (wie in meinem vorletzten Beitrag dargestellt). Alternativ ist auch (wie in diesem Beitrag dargestellt) eine Berechnung über die Bedingte Wahrscheinlichkeit möglich.

Abschließend möchte ich an dieser Stelle noch versuchen, die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten für einen bestimmten Kartensitz nach einem Stich anschaulich darzustellen. Nehmen wir obiges Beispiel des 7-Trümpfers in Kreuz aus Vorhand-Position.
AS (VH, Kreuz):
krbu pibu kr10 krda kr09
kr08 kr07 pias heko he08
gedrückt: kada ka07

Aus den 184.756 Verteilungsmöglichkeiten der Restkarten auf die Gegenspieler greifen wir uns nun zwei konkrete Fälle heraus:

Fall 1):
GS1: kabu kras pi10 piko pida heas he07 kako ka09 ka08
GS2: hebu krko pi09 pi08 pi07 he10 heda he09 kaas ka10

Fall 2):
GS1: hebu kras krko pida pi07 heas heda he09 he07 kako
GS2: kabu pi10 piko pi09 pi08 he10 kaas ka10 ka09 ka08

Nochmal zur Erinnerung: Fall 1) und Fall 2) sind gleichwahrscheinlich und treten mit der Wahrscheinlichkeit q=1/184.756 auf.

Zieht nun der Alleinspieler im ersten Stich den Kreuz-Bauern, dann ergeben sich folgende Verteilungsmöglichkeiten (die Restkarten in Pik, Herz und Karo werde ich im Folgenden nicht immer einzeln aufführen):

Fall 1):
GS1: kabu + Restkarten, GS2: hebu + Restkarten oder
GS1: kras + Restkarten, GS2: hebu + Restkarten oder
GS1: kabu + Restkarten, GS2: krko + Restkarten oder
GS1: kras + Restkarten, GS2: krko + Restkarten.
Unter der Annahme, dass die Gegenspieler die beigegene Trumpfkarte zufällig auswählen (im Realspiel natürlich nicht der Fall), ergibt sich für jede dieser Restverteilung eine Wahrscheinlichkeit von 1/4*q.

Fall 2):
GS1: hebu kras + Restkarten, GS2: Restkarten oder
GS1: hebu krko + Restkarten, GS2: Restkarten oder
GS1: kras krko + Restkarten, GS2: Restkarten.
Unter der Annahme, dass Gegenspieler 1 die beigegebene Trumpfkarte zufällig auswählt, ergibt sich also für jede dieser Restverteilungen eine Wahrscheinlichkeit von 1/3*q.

Die Verteilungen in Fall 2) sind also nach dem ersten Stich allesamt wahrscheinlicher, als die Verteilungen in Fall 1). Nimmt man das spielerische Moment hinzu (also die Tatsache, dass die Gegenspieler eben NICHT zufällig die beigegebenen Karten auswählen), so ist die durchschnittliche Wahrscheinlichkeit für eine Verteilung nach Fall 2) größer, als die durchschnittliche Wahrscheinlichkeit für eine Verteilung nach Fall 1).
Aber gleichwahrscheinlich sind die Verteilungen nicht mehr!
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Beitragvon Chevalier » 17. Feb 2011 08:40

Erstklassiger Beitrag! Mach weiter so.
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Laplace

Beitragvon spock2009 » 17. Feb 2011 20:38

o. m. g. bei der Umfrage habe ich noch gecheckt dass es sich nicht um ein Laplace-Experiment handelt, das war mir klar, dass sich da die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern. Aber bei der Frage mit dem zweimaligen Trumpfabzug habe ich das ganz blöd verdrängt. Vielen Dank erasmus, du hast das wirklich toll erklärt. Ich hab ein bisschen zu schnell drauf los geschrieben und hing in Gedanken wohl bei so was wie dem "Ziegenproblem", wo zusätzliche Informationen die Wahrscheinlichkeit verändern und es angeraten ist sich später umzuentscheiden...

Aber das ist ja nun doch sehr beruhigend, dass eine Wahrscheinlichkeitsabschätzung zu Beginn über irgendwelche Verteilungen nicht ständig revidiert werden muss...

Aber wenn 9 Stiche gespielt sind und es liegen immer noch 2 Trümpfe bei den Gegnern verändert sich die Wahrscheinlichkeit für eine 1:1-Verteilung <b>doch</b> auf über 50% :wink:
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Re: Laplace

Beitragvon marvin » 19. Feb 2011 18:20

spock2009 hat geschrieben:Aber wenn 9 Stiche gespielt sind und es liegen immer noch 2 Trümpfe bei den Gegnern verändert sich die Wahrscheinlichkeit für eine 1:1-Verteilung <b>doch</b> auf über 50% :wink:


Ja klar ... In der Regel ändert sich die Wahrscheinlichkeit sogar schon nach dem ersten Stich, weil die zugegebenen Karten gewisse Rückschlüsse darüber zulassen, welche Karten der jeweilige Spieler noch besitzt bzw. nicht besitzen kann. Zumindest, wenn man voraussetzt, dass die Gegenspieler ihre zugegebenen Karten nicht willkürlich aus den erlaubten Karten auswählen, sondern dabei logisch vorgehen. Wenn z.B. Trumpf-Ass auf den Alten gelegt wird, dann wird der Spieler bestimmt keine Trumpf-Lusche mehr haben. Somit kannst du alle Verteilungen, bei denen er die Trumpf-Lusche hätte, streichen. Und schon haben sich die Gewichte etwas verschoben. Das Problem ist, dass man das in der Praxis kaum ausrechnen kann. Man geht daher oft zu Unrecht von einer Gleichverteilung unter den theoretisch denkbaren Möglichkeiten aus.
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Beitragvon Ferdinand » 23. Feb 2011 13:11

marvin hat geschrieben:In der Regel ändert sich die Wahrscheinlichkeit sogar schon nach dem ersten Stich, weil die zugegebenen Karten gewisse Rückschlüsse darüber zulassen, welche Karten der jeweilige Spieler noch besitzt bzw. nicht besitzen kann. Zumindest, wenn man voraussetzt, dass die Gegenspieler ihre zugegebenen Karten nicht willkürlich aus den erlaubten Karten auswählen, sondern dabei logisch vorgehen.


Das kann man wohl gar nicht genug betonen. erasmus schreibt selbst:

erasmus hat geschrieben:Unter der Annahme, dass die Gegenspieler die beigegene Trumpfkarte zufällig auswählen (im Realspiel natürlich nicht der Fall),


Insofern sollte man nochmals darauf hinweisen, daß die Ausführungen von erasmus zwar mathematisch wohl richtig sind, aber, sofern sie von rein zufälliger Beigabe von Karten seitens der Spieler ausgehen, auf die Realität des Skatspiels so nicht anwendbar sind, da in für die praktische Anwendbarkeit unzulässiger Weise vereinfacht.

Wenn also spock2009 schlußfolgert:
spock2009 hat geschrieben:Aber das ist ja nun doch sehr beruhigend, dass eine Wahrscheinlichkeitsabschätzung zu Beginn über irgendwelche Verteilungen nicht ständig revidiert werden muss...

so liegt er damit genau falsch.

Eine weitaus realistischere Modellierung als die Annahme der "zufälligen Beigabe" dürfte wohl sein, daß bei Abzug "von oben" die Gegenspieler jeweils die Karte mit dem niedrigsten Zählwert beigeben - wobei für Buben eine wirklichkeitsnahe Ausnahmeregelung von dieser Regel gefunden werden müßte. Hat ein Spieler mehrere aufeinanderfolgende Karten gleichen Zählwerts, also Buben oder Luschen, und will er eine davon gemäß den obigen Regeln legen, dann kann man für diesen Spezialfall die "zufällige Entscheidung" modellieren.
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Beitragvon erasmus » 23. Feb 2011 16:27

Hallo Ferdinand!

Die Annahme, dass die Gegenspieler die beigegebene Trumpfkarte zufällig auswählen, ist zur Widerlegung von spock's Ausgangsthese der "Verdrehten Wahrscheinlichkeit" nicht nötig! Ich habe sie für das konkrete Beispiel am Ende meines letzten Beitrags gemacht und hinzugefügt:
Nimmt man das spielerische Moment hinzu (also die Tatsache, dass die Gegenspieler eben NICHT zufällig die beigegebenen Karten auswählen), so ist die durchschnittliche Wahrscheinlichkeit für eine Verteilung nach Fall 2) größer, als die durchschnittliche Wahrscheinlichkeit für eine Verteilung nach Fall 1).
Aber gleichwahrscheinlich sind die Verteilungen nicht mehr!


Mein Anliegen war es nur, aufzuzeigen, dass alle möglichen Verteilungen der Restkarten auf die Gegenspieler nur nach Austeilen der Karten gleichwahrscheinlich sind und jeder einzelne Stich (im Grunde ja schon die Reizung!) diese Wahrscheinlichkeitsverteilung beeinflusst. Eine "Modellierung" des Problems unter Berücksichtigung optimalen Gegenspiels habe ich nicht vorgenommen. Das wäre wohl auch für dieses relativ einfache Problem schon ziemlich kompliziert. Zudem müsste dann ja konsequenter Weise auch der Einfluss der Gegenreizungen auf die Verteilungs-Wahrscheinlichkeiten sinnvoll modelliert werden.

Insofern hast du natürlich Recht, dass meine Berechnungen
auf die Realität des Skatspiels so nicht anwendbar sind.

Dies liegt aber einfach daran, dass wohl kein Skatspieler mathematische Modelle bei seinen Entscheidungen im Spiel zu Rate zieht. Vielmehr werden diese Verteilungs-Probleme beim 5- oder 7-Trümpfer im Geiste modelliert und versucht, die wahrscheinlichste(n) Verteilung(en) zu ermitteln und sein Spiel darauf auszulegen. Je besser man das hinbekommt, desto größer ist die sogenannte Spielstärke.

Eine mathematische Modellierung unter Berücksichtigung der Spielweise der Gegenspieler macht bei anderen Problemen in meinen Augen viel mehr Sinn, z.B. im Beitrag "Riskieren?" vom Skatfuchs (http://www.32karten.de/forum/viewtopic.php?t=4028).

Schöne Grüße,
erasmus
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Beitragvon Ferdinand » 23. Feb 2011 16:57

Schon klar, erasmus. Die Antwort von spock2009 ließ mich aber zweifeln, ob Deine Botschaft richtig verstanden wurde. :)

Ich hatte bei meinem Posting das Doppelläufer-Problem im Hinterkopf. Das ist von ganz ähnlicher Natur.

Der AS führe (zum Grand)

kras kr10 krda kr09 kr07 heas he10 heda

plus zwei weitere Karten, die jedenfalls nicht Herz oder Kreuz sind. Im Stock liegt auch weder Herz noch Kreuz.

Er spielt nun heas aus, und beide Mitspieler bedienen Herz.

Es stellt sich nun die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, daß he10 auch durchgeht (also von beiden Spielern bedient werden muß), verglichen mit der Wahrscheinlichkeit, daß das kras durchgeht.

Die Frage, ob ein Bube zum Stechen vorhanden ist, lassen wir mal außen vor, ebenso wie Informationen aus der Reizung etc.
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Beitragvon spock2009 » 23. Feb 2011 17:38

Hallo Ferdinand: Und daraus, dass der folgende Gegner heko auf dein heas legt würde dich zu der Annahme führen,
dass er kein Herz mehr führt, stimmts :wink: Lassen wir mal dahingestellt sein, ob das stimmt.

Aber ganz so ein hoffnungsloser Fall bin ich ja gar nicht.
Aber bitte berücksichtige, dass ich in der Mathecke gepostet habe und nicht in der "wir interpretieren ein konkretes Spiel"-Ecke.
Zugegeben in der obigen Frage ist es nicht wichtig, dass es sich um Skat oder Lose ziehen handelt, aber "Interpretationen" gelegter Karten sind schwer mathematisch zu modellieren...

Im Übrigen: Bevor sich noch jemand "mathematisch" an der Abschlußbemerkung meines letzten Beitrags stößt:
Das war nur scherzhaft gemeint. Klar ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 9 Stichen ohne die letzten zwei Trümpfe der Gegner, von vornherein 1, dass sie verteilt sind.
Vielleicht beruhigt das ja schon den einen oder anderen... :)

PS: Dein Beispiel ist mit den vielgelobten Standardtabellen schnell geklärt.
Wenn man akzeptiert, dass meine Herangehensweise oben falsch war.
spock2009
 
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Beitragvon erasmus » 23. Feb 2011 17:42

Hallo Ferdinand!

Dieses Beispiel gefällt mir sehr gut! Vielleicht hilft pure Mathematik ja doch manchmal :wink:...

Die Wahrscheinlichkeit für Kreuz 1:1 beträgt vor dem ersten Stich jedenfalls 52,63 %. Und jetzt kommt die Masterfrage: Ändert sich diese Wahrscheinlichkeit nach Abzug und Bedienen von Herz-As? :twisted:

Schöne Grüße,
erasmus
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Beitragvon Ferdinand » 23. Feb 2011 17:53

Hallo spock2009,

wollte Dir in keinster Weise zu nahe treten. :)

spock2009 hat geschrieben:Hallo Ferdinand: Und daraus, dass der folgende Gegner heko auf dein heas legt würde dich zu der Annahme führen,
dass er kein Herz mehr führt, stimmts :wink: Lassen wir mal dahingestellt sein, ob das stimmt.


Ja, darum geht es letztendlich. Ich möchte die beiden Ansätze mal vergleichend diskutieren:

A. Die Gegenspieler bedienen zufällig.

B. Der heko wird nur gelegt, wenn er blank ist. Hat aber ein Spieler mehrere Herz-Lusche, wählt er zufällig eine aus.

Es stellt sich dann nach dem ersten Stich die Frage nach dem Vergleich der Wahrscheinlichkeit, daß der zweite Herzstich durchgeht mit der Wahrscheinlichkeit, daß der Kreuzstich durchgeht - und dies einmal unter der Annahme A, einmal unter der Annahme B.

Wie sich herausstellt, ist unter der Annahme zufälligen Bedienens die Wahrscheinlichkeit, daß der zweite Herzstich durchgeht, geringer als die, daß der Kreuzstich durchgeht - und dies obwohl noch je zwei Herz und zwei Kreuz bei den Gegnern sind.

Dieses auf den ersten Blick verblüffende Resultat löst sich aber auf, wenn man dem Fall unter Annahme B betrachtet. Dann gibt es zwei Fälle:

- Wird der heko gelegt, steht fest, daß er blank war. Die Wahrscheinlichkeit, daß der zweite Herzstich durchgeht, sinkt auf 0%.

- Wird der heko aber nicht gelegt, dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß der zweite Herzstich durchgeht, genauso groß, wie die, daß der Kreuzstich durchgeht - also das, was man naiverweise wohl auch erwartet hätte.

Man sieht also, daß das verblüffende Resultat in Fall A letztlich nur einer wirklichkeitsfernen Annahme geschuldet ist. Geht man zu einer realistischeren Annahme über, dann verschwindet das "Wahrscheinlichkeitsparadoxon".

( Dein Problem fällt wie das von Dir bereits erwähnte Ziegenproblem in die Klasse von Problemen, mit denen man durch unpräzise Fragestellung für reichlich Verwirrung und scheinbare Paradoxien sorgen kann. Mit unpräzise meine ich, daß eine auf den ersten Blick wohldefinierte Frage es bei näherer Betrachtung nicht ist. Es ist manchmal gar nicht so einfach, den Denkfehler zu finden, der in der Fragestellung versteckt ist.

Kennst Du das Problem von Hänsel, Gretel und dem Hund auf Wanderschaft? :D )

spock2009 hat geschrieben:PS: Dein Beispiel ist mit den vielgelobten Standardtabellen schnell geklärt.


Bin mal gespannt... :)
Ferdinand
 
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Beitragvon spock2009 » 25. Feb 2011 02:03

Ferdinand hat geschrieben:wollte Dir in keinster Weise zu nahe treten.

Alles in Butter. Ich freue mich, dass sich andere für meinen Beitrag interessieren.

Ferdinand hat geschrieben:Kennst Du das Problem von Hänsel, Gretel und dem Hund auf Wanderschaft? :D )

Leider nicht. Googlen hat bei mir auch keinen direkten Treffer ergeben. Hast du einen Link für mich?

Ferdinand hat geschrieben:
spock2009 hat geschrieben:PS: Dein Beispiel ist mit den vielgelobten Standardtabellen schnell geklärt.


Bin mal gespannt... :)

Also die Wahrscheinlichkeit für Herz 2:2 ist bekanntlich 41,8 %. Die W. für "Nicht alle Herz in einer Gegnerhand" ist 91,3 %.
Demnach ist die Wahrscheinlichkeit nach Abzug der zwei Herzen 41,8/91,3 = 45,8 %.
Also abgesehen von der Unmöglichkeit, dass alle Herz in einer Hand liegen unverändert.

Zu der Frage nach dem verteilten Kreuz steht vermutlich nichts in den Standardtabellen (die ich leider nicht kenne).
Wir brauchen hier nämlich die Wahrscheinlichkeit für Kreuz 1:1 unter der Voraussetzung, dass beide Gegner mindestens ein Herz halten.
Korrigiert mich wenn ich falsch liege, aber die W. dürfte sich dann wohl so berechnen:
(2 C 1) = Anzahl 1 von 2 Kreuzkarten
(4 C r) = Anzahl r von 4 Herzkarten
(14 C r) = Anzahl r von14 sonstigen Karten

(2 C 1) * [(4 C 1)(14 C 8 ) + (4 C 2)(14 C 7) + (4 C 3)(14 C 6)] / (20 C 10) = 48,3 %
Die Wahrscheinlichkeit für Kreuz 1:1, falls jeder mindestens ein Herz hält ist also nach wie vor Abzug des Herzass gleich 48,3 %.

PS: Noch mal zum Herz-König: Wenn ich als Gegenspieler in Kreuz stechen kann ahne ich evtl. dass AS zwischen Kreuz und Herz wählen muss.
Halte ich Herz K und Herz-Lusche, so lege ich vielleicht mit Absicht den Herz K, um ihn auf Kreuz zu locken :-)
Solche Spielweisen sind alles andere als unüblich. Das meine ich mit mathematisch schwer zu handhaben...
Zuletzt geändert von spock2009 am 26. Feb 2011 13:52, insgesamt 1-mal geändert.
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Beitragvon Ferdinand » 25. Feb 2011 12:05

spock2009 hat geschrieben:
Ferdinand hat geschrieben:Kennst Du das Problem von Hänsel, Gretel und dem Hund auf Wanderschaft? :D )

Leider nicht. Googlen hat bei mir auch keinen direkten Treffer ergeben. Hast du einen Link für mich?


Leider nein. Ist aus einer alten Auflage einer Physik-Aufgabensammlung zu einem Lehrbuch (GKV). Das geht so:

Hänsel, Gretel und ihr Hund brechen gleichzeitig von ihrem zu Hause zu einem Spaziergang auf gerader Strecke auf. Sie gehen aber nicht gemeinsam, sondern Hänsel geht mit 6 km/h, Gretel mit 4 km/h, und der Hund rennt mit 10 km/h ständig zwischen Hänsel und Gretel hin und her.

Nach einer Stunde ist Hänsel offenbar genau 6 km entfernt von zu Hause, und Gretel genau 4 km.

Frage: An welcher Stelle ist der Hund, und in welche Richtung läuft er nach genau einer Stunde?



spock20009 hat geschrieben:Demnach ist die Wahrscheinlichkeit nach Abzug der zwei Herzen 41,8/91,3 = 45,8 %.
Also abgesehen von der Unmöglichkeit, dass alle Herz in einer Hand liegen unverändert.


Das ist die Wahrscheinlichkeit, daß der zweite Herzstich durchgeht, wenn der erste bereits durchgegangen ist - unter der Annahme zufälligen Bedienens.

spock2009 hat geschrieben:Wir brauchen hier nämlich die Wahrscheinlichkeit für Kreuz 1:1 unter der Voraussetzung, dass beide Gegner mindestens ein Herz halten.


Das heißt, die verbliebenen 18 Karten (nach Abzug von 2 Herz) können grundsätzlich beliebig unter den beiden GS verteilt sein.

(Wäre der erste Herzstich nicht durchgegangen, aber auch kein Kreuzabwurf erfolgt, dann wüßten wir immerhin drei weitere Karten eines Gegenspielers, nämlich die anderen drei Herz. Dann wären nur noch die verbleibenden 15 Karten auf die Gegenspieler zu verteilen. Oder aber es wäre im ersten Stich Kreuzabwurf erfolgt, und die Frage nach der 1:1-Verteilung nach dem ersten Stich wäre gegenstandslos geworden.)

spock2009 hat geschrieben:Die Wahrscheinlichkeit für Kreuz 1:1, falls jeder mindestens ein Herz hält ist also nach wie vor Abzug des Herzass gleich 48,3 %.


Ich komme auf 52,9%, also geringfügig wahrscheinlicher als vor dem ersten Stich (52,6%, wie erasmus bereits schrieb).

spock2009 hat geschrieben:PS: Noch mal zum Herz-König: Wenn ich als Gegenspieler in Kreuz stechen kann ahne ich evtl. dass AS zwischen Kreuz und Herz wählen muss.
Halte ich Herz K und Herz-Lusche, so lege ich vielleicht mit Absicht den Herz K, um ihn auf Kreuz zu locken :-)
Solche Spielweisen sind alles andere als unüblich. Das meine ich mit mathematisch schwer zu handhaben...


Ja, das ist natürlich klar. Freie Willensentscheidungen sind nun mal schwer vorauszuberechnen. Wäre es nicht so, dann wären sie ja nicht wirklich frei.

Deswegen können wir ja auch die Wahrscheinlichkeit recht exakt abschätzen, daß Kreuz nach dem ersten Stich 1:1 steht, wenn beide Gegenspieler ein Herz haben. Denn dann müssen sie bedienen und dürfen kein Kreuz beigeben. Wobei eben auch hier nicht auszuschließen ist, daß nicht doch ein Gegenspieler die freie Wahl seiner Herzabwurfkarte vom Stand in Kreuz in irgendeiner Weise abhängig macht.

Aber wir können nicht berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, daß Kreuz 1:1 steht, wenn der Herzstich nicht durchgeht und kein Kreuzabwurf erfolgt. Hierzu müßten wir wissen, wie wahrscheinlich es ist, daß der GS ohne Herz zwar Kreuz hat, dieses aber im ersten Stich nicht abwirft - und das hängt eben vom freien Willen des Spielers ab.
Ferdinand
 
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Beitragvon erasmus » 25. Feb 2011 15:05

Hallo Zusammen!

So langsam müssen wir glaube ich aufpassen, dass der Thread hier nicht zu unübersichtlich wird :wink:.

Ich versuche mal, dass
Problem mit dem Doppelläufer von Ferdinand
zusammenzufassen.

Der Alleinspieler in Vorhand spiele Grand mit
kras kr10 krda kr09 kr07 heas he10 heda
Dabei soll uns nicht weiter interessieren, welche weiteren Karten der Alleinspieler hat und welche Karten gedrückt sind. Wichtig ist nur: Die restlichen Kreuz- und Herz-Karten stehen allesamt bei den Gegenspielern.

Der Alleinspieler interessiere sich ausschließlich für die Wahrscheinlichkeit eines Herz-Doppelläufers verglichen mit der Wahrscheinlichkeit, dass Herz-As und Kreuz-As je einmal laufen.

--------------------------------------------------------------------------------

1 Situation vor dem Ersten Stich

Vor dem ersten Stich sind folgende Verteilungen bei den Gegenspielern möglich:

Gesamtzahl der Verteilungen: 184.756

Kreuz 1:1 UND Herz 2:2: 41.184 entsprechend 22,29 %
Kreuz 1:1 UND Herz 3:1: 48.048 entsprechend 26,01 %
Kreuz 1:1 UND Herz 4:0: 8.008 entsprechend 4,33 %

Kreuz 2:0 UND Herz 2:2: 36.036 entsprechend 19,50 %
Kreuz 2:0 UND Herz 3:1: 43.472 entsprechend 23,53 %
Kreuz 2:0 UND Herz 4:0: 8.008 entsprechend 4,33 %

Der Alleinspieler beschließt nun, zum ersten Stich Herz-As aufzuspielen, da dieses ja nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 8,66 % nicht von beiden Spielern bedient werden muss. Wenn Herz-As dagegen von beiden Spielern bedient wird (zu 91,34 %), muss sich der Alleinspieler anschließend entscheiden, ob es besser ist Herz-10 oder Kreuz-As im zweiten Stich zu bringen.

1. heas

Im Folgenden werden nur Situationen betrachtet, in denen das Herz-As von beiden Spielern bedient wird!

--------------------------------------------------------------------------------

2.1 Zufällige Beigabe

Wählen die Gegenspieler ihre Beigabe zu Herz-As zufällig aus, so entfallen von den ursprünglichen 184.756 Verteilungen, nur die 16.016, bei denen Herz 4:0 steht. Die möglichen Verteilungen lauten demnach:

Kreuz 1:1 UND Herz 1:1: 41.184 entsprechend 24,41 %
Kreuz 1:1 UND Herz 2:0: 48.048 entsprechend 28,47 %

Kreuz 2:0 UND Herz 1:1: 36.036 entsprechend 21,36 %

Kreuz 2:0 UND Herz 2:0: 43.472 entsprechend 25,76 %

Wie man leicht sehen kann, ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur Kreuz-As und nicht Herz-10 läuft, etwas größer als die Wahrscheinlichkeit, dass nur Herz-10 und nicht Kreuz-As läuft.

Der Alleinspieler sollte also 2. kras bringen.

Wie ja nun bereits ausgiebig diskutiert wurde, werden echte Gegenspieler ihre Beigabe zu Herz-As jedoch nicht rein zufällig auswählen (Ausnahmen gibt es vielleicht auf der grünen Wiese :wink:). Betrachten wir also das von Ferdinand vorgeschlagene Szenario.

--------------------------------------------------------------------------------

2.2 Beigabe von Herz-König ausschließlich dann, wenn er blank steht

Nun müssen zwei Situationen (nämlich die ob Herz-König beigegeben wird oder nicht) unterschieden werden.

2.2.1 Herz-König fällt
Dies bedeutet, dass eine 2:2-Verteilung in Herz ausgeschlossen werden kann. Demnach kommen nur noch ein Viertel der Herz 3:1-Verteilungen in Frage (nämlich die, in denen der Spieler mit einem Herz gerade den König hat). Also:

Kreuz 1:1 UND Herz 1:1: 0 entsprechend 0 %
Kreuz 1:1 UND Herz 2:0: 12.012 entsprechend 52,50 %

Kreuz 2:0 UND Herz 1:1: 0 entsprechend 0 %

Kreuz 2:0 UND Herz 2:0: 10.868 entsprechend 47,50 %

In diesem Fall sollte der Alleinspieler also auf jeden Fall 2. kras bringen.

2.2.2 Herz-König fällt nicht
Auf diese Variante entfallen alle 2:2-Verteilungen in Herz, sowie jene 3:1-Verteilungen, in denen der Herz-König nicht blank sitzt:

Kreuz 1:1 UND Herz 1:1: 41.184 entsprechend 28,24 %
Kreuz 1:1 UND Herz 2:0: 36.036 entsprechend 24,71 %

Kreuz 2:0 UND Herz 1:1: 36.036 entsprechend 24,71 %

Kreuz 2:0 UND Herz 2:0: 32.604 entsprechend 22,35 %

In diesem Fall laufen 2. he10 und 2. kras somit tatsächlich mit exakt der gleichen Wahrscheinlichkeit.


Wie spock aber richtig anmerkte, könnte es durchaus Situationen geben, in denen der Gegenspieler mit Herz-König und Herz-Lusche (d.h. 2:2-Stand in Herz) auf Herz-As den König legt, da er z.B. Kreuz-frei ist und den Alleinspieler auf eine andere Farbe locken möchte. Versuchen wir auch diese Situation mathematisch zu erfassen.

--------------------------------------------------------------------------------

2.3 Beigabe von Herz-König ausschließlich dann, wenn er blank steht oder wenn er zu zweit beim kreuzfreien Gegenspieler sitzt

2.3.1 Herz-König fällt
Ein Viertel der Herz-3:1-Verteilungen, sowie die Hälfte der Verteilungen mit Kreuz 2:0 und Herz 2:2 kommen in Frage:

Kreuz 1:1 UND Herz 1:1: 0 entsprechend 0 %
Kreuz 1:1 UND Herz 2:0: 12.012 entsprechend 29,37 %

Kreuz 2:0 UND Herz 1:1: 18.018 entsprechend 44,06 %

Kreuz 2:0 UND Herz 2:0: 10.868 entsprechend 26,57 %

2. he10 ist plötzlich am besten! Die Situation hat sich umgekehrt. Wenn man tatsächlich davon ausgehen muss, dass der Gegenspieler ohne Kreuz den Herz-König legt, wenn er zwei Herz hat, dann sollte man gerade dann, wenn Herz-König fällt, im zweiten Stich die 10 nachbringen.

2.3.2 Herz-König fällt nicht
Für den Fall, dass auf Herz-As zwei Luschen beigegeben werden, verbleiben nun folgende Verteilungen:

Kreuz 1:1 UND Herz 1:1: 41.184 entsprechend 32,21 %
Kreuz 1:1 UND Herz 2:0: 36.036 entsprechend 28,19 %

Kreuz 2:0 UND Herz 1:1: 18.018 entsprechend 14,09 %

Kreuz 2:0 UND Herz 2:0: 32.604 entsprechend 25,50 %

Die beste Fortsetzung ist nun eindeutig wieder 2. kras. Im Gegensatz zu Fall 2.2.2 ist die Herz-10 dem Kreuz-As nun deutlich unterlegen.

--------------------------------------------------------------------------------

Vermutlich liegt die Realität irgendwo zwischen den Fällen 2.2 und 2.3. Man könnte nun das Modell verfeinern und beispielsweise im nächsten Schritt annehmen, dass der kreuzfreie Gegenspieler mit dem Herz-König zu zweit diesen in einem von zwölf Fällen auf das Herz-As legt. Dann käme man zu dem Ergebnis, dass das Kreuz-As der Herz-10 in jedem Fall überlegen ist (also egal, ob der König im ersten fällt oder nicht). Zur weiteren Verfeinerung müsste dann noch die Verteilung der Bauern und Restfarben, sowie idealerweise die Reizungen berücksichtigt werden.

Ich denke aber, dass man sich nach diesen Überlegungen nicht zu weit aus dem Fenster lehnen muss, um sagen zu können:
1. heas
2. kras
ist der sicherste Vortrag, wenn man einen Abstich vermeiden möchte.


Schöne Grüße,
erasmus
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Beitragvon Ferdinand » 25. Feb 2011 17:46

Bleibt nur noch die Frage nach dem Hund...
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Beitragvon spock2009 » 26. Feb 2011 14:15

Ferdinand hat geschrieben:
Frage: An welcher Stelle ist der Hund, und in welche Richtung läuft er nach genau einer Stunde?


Warum muss der Hund denn auch so undifferenzierbar umherlaufen... An den Umkehrpunkten ist die Richtung ja auch eher eine philosophische Frage.
Interessant ist aber auch, wenn die beiden Kinder 1 km von einander entfernt sind, aber aufeinander zulaufen.
Dann kehrt der Hund ja offensichtlich unendlich oft um (jeder Hundebesitzer wird mir beipflichten, dass das bei jedem Spaziergang eine durch und durch realisitische Betrachtungsweise ist), aber er legt nur eine endliche Strecke zurück... :wink:

Ferdinand hat geschrieben:
spock20009 hat geschrieben:Demnach ist die Wahrscheinlichkeit nach Abzug der zwei Herzen 41,8/91,3 = 45,8 %.


Das ist die Wahrscheinlichkeit, daß der zweite Herzstich durchgeht, wenn der erste bereits durchgegangen ist - unter der Annahme zufälligen Bedienens.


Stimmt. Ich glaube Skat ist zu kompliziert... wollen wir nicht lieber ne Runde Schnipp-Schnapp spielen :)

Ferdinand hat geschrieben:Das heißt, die verbliebenen 18 Karten (nach Abzug von 2 Herz) können grundsätzlich beliebig unter den beiden GS verteilt sein.

Vorsicht: Du bewegst dich sehr dicht in Richtung meines ursprünglichen Denkfehlers :!:
Du hast schon recht. Die übrigen 18 Karten können beliebig unter den Gegnern verteilt sein,
aber nicht alle diese Verteilungen sind noch gleichwahrscheinlich :!:

Ferdinand hat geschrieben:Ich komme auf 52,9%, also geringfügig wahrscheinlicher als vor dem ersten Stich (52,6%, wie erasmus bereits schrieb).

Kannst du deine Rechnung posten? In meiner Formel finde ich keinen Fehler und ich komme auch auf die gleiche Zahl wie erasmus:
erasmus hat geschrieben:Kreuz 1:1 UND Herz 2:2: 41.184 entsprechend 22,29 %
Kreuz 1:1 UND Herz 3:1: 48.048 entsprechend 26,01 %

Summe = 48,3 %

Erasmus: Klar wird der Post immer unübersichtlicher, aber dass man den Fehler den ich gemacht habe an verschiedenen Beispielen noch mal aufklärt übt einen vielleicht darin ihn zu vermeiden.
Den gleichen Fehler macht übrigens bereits Schubert in dem schönen Buch "Das Skatspiel im Lichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung" von 1887.
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Beitragvon Ferdinand » 27. Feb 2011 08:47

spock2009 hat geschrieben:
Ferdinand hat geschrieben:Ich komme auf 52,9%, also geringfügig wahrscheinlicher als vor dem ersten Stich (52,6%, wie erasmus bereits schrieb).

Kannst du deine Rechnung posten? In meiner Formel finde ich keinen Fehler und ich komme auch auf die gleiche Zahl wie erasmus:
erasmus hat geschrieben:Kreuz 1:1 UND Herz 2:2: 41.184 entsprechend 22,29 %
Kreuz 1:1 UND Herz 3:1: 48.048 entsprechend 26,01 %

Summe = 48,3 %


Schon richtig, aber das sind die Werte vor dem ersten Stich. Es gibt ja noch die Möglichkeit, daß die Herz 4:0 stehen. Diese Fälle scheiden dann nach dem ersten Stich aus, wenn klar ist, daß Herz eben nicht 4:0 steht.

Ich komme auf folgende Werte:

Wahrscheinlichkeit, daß zu Beginn des Spieles die Kreuz 1:1 stehen =52,6 %

Wahrscheinlichkeit, daß die Herz 4:0 stehen = 8,7%.

Wenn nun die Herz 4:0 stehen, dann sind die Wahrscheinlichkeiten, daß die Kreuz 2:0 / 1:1 / 0:2 stehen, genau zu 12,5 % / 50 % / 37,5 % verteilt.

Es ergibt sich also für die Wahrscheinlichkeit x für Kreuz 1:1, unter der Annahme, daß Herz nicht 4:0 steht:

8,7 % * 50 % + 91,3 % * x = 52,6 %

x = 52,9 %
Ferdinand
 
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Beitragvon erasmus » 27. Feb 2011 11:52

Hallo!

Ferdinand's 52,9 % sind richtig! Ich habe das auch so berechnet und spock hat das falsche Zitat gepostet :wink:.

erasmus hat geschrieben:2.1 Zufällige Beigabe

Wählen die Gegenspieler ihre Beigabe zu Herz-As zufällig aus, so entfallen von den ursprünglichen 184.756 Verteilungen, nur die 16.016, bei denen Herz 4:0 steht. Die möglichen Verteilungen lauten demnach:

Kreuz 1:1 UND Herz 1:1: 41.184 entsprechend 24,41 %
Kreuz 1:1 UND Herz 2:0: 48.048 entsprechend 28,47 %

Kreuz 2:0 UND Herz 1:1: 36.036 entsprechend 21,36 %

Kreuz 2:0 UND Herz 2:0: 43.472 entsprechend 25,76 %


Addiert man die Fälle für Kreuz-1:1-Verteilung, so erhält man 52,88 %.

Das bedeutet, dass die richtige Antwort auf meine Frage
erasmus hat geschrieben:Die Wahrscheinlichkeit für Kreuz 1:1 beträgt vor dem ersten Stich jedenfalls 52,63 %. Und jetzt kommt die Masterfrage: Ändert sich diese Wahrscheinlichkeit nach Abzug und Bedienen von Herz-As? :twisted:

nur lauten kann:

Die Wahrscheinlichkeit für einen 1:1 Sitz in Kreuz erhöht sich von 52,63 % vor dem ersten Stich auf 52,88 % nach dem Ersten Stich, wenn Herz-As von beiden Gegenspielern bedient wird!

Ich finde dieses Ergebnis erstaunlich und lehrreich. Selbst wenn aus dem Ersten Stich keine "direkten" Schlüsse auf die Kreuz-Verteilung gezogen werden können, so ändern sich doch die Wahrscheinlichkeiten für die unterschiedlichen Verteilungsmöglichkeiten. Übrigens (auch das wurde von Ferdinand und mir ja schon berechnet):

Die Wahrscheinlichkeit für einen 1:1 Sitz in Kreuz verringert sich von 52,63 % vor dem ersten Stich auf 50,00 % nach dem Ersten Stich, wenn Herz-As nicht von beiden Gegenspielern bedient wird (d.h. Herz 4:0 Verteilung)!

Wie ich finde, stehen diese mathematischen "Erkenntnisse" jedoch in gutem Einklang mit unserem "Skatgefühl": Wenn eine Farbe einseitig verteilt sitzt, so steigt auch die Wahrscheinlichkeit für einen generellen Extremstand. Umgekehrt erhöhen sich die Chancen auf vollständige Symmetrie mit jeder Farbe, die gleichmäßig verteilt sitzt.

Schöne Grüße,
erasmus

PS (Ferdinand): Wo dein Hund nach einer Stunde ist, vermag ich nicht zu beantworten, da ihm schon zu Beginn des Ausflugs schwindelig wird :wink:
Zuletzt geändert von erasmus am 27. Feb 2011 17:13, insgesamt 1-mal geändert.
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Beitragvon spock2009 » 27. Feb 2011 13:21

Warum sagt ihr nicht kurz, dass ich vergessen habe mein Ergebnis zu der Wahrscheinlichkeit dafür ins Verhältnis zu setzen, dass Herz nicht vollständig in einer Hand sitzt...
48,3 / 91,3 = 52,9%
und schon sind wir uns einig :-)
spock2009
 
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Beitragvon Ferdinand » 28. Feb 2011 12:41

erasmus hat geschrieben:Die Wahrscheinlichkeit für einen 1:1 Sitz in Kreuz verringert sich von 52,63 % vor dem ersten Stich auf 50,00 % nach dem Ersten Stich, wenn Herz-As nicht von beiden Gegenspielern bedient wird (d.h. Herz 4:0 Verteilung)!


Ich würde es noch etwas anders formulieren: Wenn man nur erfährt, daß die Herz 4:0 stehen, dann fällt die Wahrscheinlichkeit, daß die Kreuz 1:1 stehen, auf 50%.

Nun erfährt man aber im ersten Stich nicht nur, daß ein GS 4 Herz hat, sondern man sieht auch, was der andere Gegenspieler drauflegt.

Nehmen wir an, er legt die Karte K drauf. Dann muß man sich zunächst fragen:
  • Wie wahrscheinlich ist es, daß der Gegenspieler die Karte K drauflegt, wenn er 2 Kreuz hat? Nennen wir diese Wahrscheinlichkeit p2(K).
  • Wie wahrscheinlich ist es, daß er die Karte K drauflegt, wenn er nur 1 Kreuz hat? Nennen wir diese Wahrscheinlichkeit p1(K).
  • Und wie wahrscheinlich ist es, daß er die Karte K drauflegt, wenn er kein Kreuz hat? Nennen wir diese Wahrscheinlichkeit p0(K).

Auf diese Fragen kann es offenbar keine allgemeingültigen Antworten geben. Sie hängen nicht nur von der Karte K, sondern auch von den anderen Karten des Spielers, sowie von der Spielstärke und -philosophie des betreffenden Spielers ab.

Aber wenn man diese Wahrscheinlichkeiten geschätzt hat, kann man daraus die Antwort auf die Fragen herleiten, die einen eigentlich interessieren:
  • Wie wahrscheinlich ist es, daß der Gegenspieler 2 Kreuz hat, wenn er die Karte K drauflegt?
  • Wie wahrscheinlich ist es, daß der Gegenspieler 1 Kreuz hat, wenn er die Karte K drauflegt?
  • Und wie wahrscheinlich ist es, daß er gar kein Kreuz hat, wenn er die Karte K drauflegt?

Hier muß man nun die Wahrscheinlichkeit p0(K) mit 0,125, die Wahrscheinlichkeit p1(K) mit 0,5, und die Wahrscheinlichkeit p2(K) mit 0,375 multiplizieren. Die drei erhaltenen Zahlen müssen dann noch jeweils durch die Summe dieser drei Zahlen geteilt werden, so daß danach die Summe der drei Wahrscheinlichkeiten genau 1 ergibt.

Das sind dann die gesuchten Wahrscheinlichkeiten dafür, daß nach dem ersten Stich bei Herz 4:0 die Kreuz 2:0, 1:1 oder 0:2 stehen.

Aufgabe hierzu: Der Gegenspieler, der kein Herz hat, legt auf das heas den krbu .

Der AS schätzt die Situation nun so ein, daß dieser GS in jedem Falle einen Buben gelegt hätte, sofern er nur mindestens einen solchen gehabt hat. Hat er mehrere Buben, die nicht in direkter Folge stehen, (z. B. krbu und hebu), dann würde er sicher den niedrigeren Buben legen. Stehen die niedrigsten Buben in Folge (z. B. krbu und pibu ), dann wird rein zufällig einer dieser Buben gelegt.

Nehmen wir weiter an, der AS spielt "Ohne 4".

Frage: Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, daß Kreuz 1:1 steht, nach dem ersten Stich aus Sicht des AS?

Abgabetermin: Freitag mittag 12:00 Uhr

:lol:
Ferdinand
 
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