von marvin » 16. Aug 2007 17:40
Was ist die Wahrscheinlichkeit?
Es gibt im Alltag viele Situationen, in denen Ereignisse nicht mit Sicherheit vorhersagbar sind. So hat sich jeder Bahnreisende schon mal die Frage gestellt: Wird mein Zug pünktlich sein? Oder pessimistischer: Wie groß ist die Verspätung? Andere Beispiele: Welche Zahl liegt beim Würfeln oben? Wie viele Buben liegen im Skat?
Auch wenn die genaue Antwort auf diese Fragen erst gegeben werden kann, nachdem das Ereignis eingetreten ist (der Zug ist da, der Würfel ist gefallen, der Skat wurde angesehen), so ist es nicht unmöglich, im Vorhinein Aussagen über den Ausgang zu treffen. So behauptet die Bahn, dass 90% der Züge pünktlich seien. Bei einem guten Würfel erwartet man, dass jede Zahl die gleiche Chance hat, oben zu liegen. Und der Skatspieler geht davon aus, nur selten einen Buben zu finden.
Wiederholt man ein und dasselbe „Experiment“ viele Male und notiert sich dabei, ob ein bestimmtes Ereignis E eingetreten ist (z.B. ob die 6 oben lag oder nicht), so stellt man folgendes fest: Der Quotient aus der Anzahl der Versuche, bei denen E eingetreten ist, und der Gesamtzahl aller Versuche pendelt sich bei einem bestimmten Wert ein. Man nennt diesen die relative Häufigkeit von E. Auch wenn man eine neue Versuchsreihe startet (mit demselben Experiment), so wird sich der Quotient wieder auf einem bestimmten Wert einpendeln – mehr noch: In beiden Versuchsreihen werden die beobachteten relativen Häufigkeiten sehr nahe beieinander liegen.
Zur Illustration nehmen wir eine Münze. Wirft man sie in die Luft und schaut, nachdem sie zur Ruhe gekommen ist, welche Seite oben liegt, so kann das „Kopf“ oder „Zahl“ sein. Wir notieren uns das Ergebnis und wiederholen das Experiment mehrfach. Wenn wir nur 10 Versuche machen, kann die relative Häufigkeit noch starken Schwankungen unterliegen. Es ist sogar denkbar, dass in einer Zehnerserie 10x Kopf kommt und in einer anderen 10x Zahl. Wir erhöhen deshalb die Länge der Versuchsreihen auf 100. Jetzt sollten die relativen Häufigkeiten sich in einer Spannbreite von ca. 25% bewegen (z.B. zwischen 35% und 60%). Erhöhen wir die Versuchsreihen weiter auf 1000, so ist die Schwankungsbreite nur noch 10%.
Man nennt den Grenzwert, gegen den die relative Häufigkeit von E strebt, die Wahrscheinlichkeit von E. Der Mathematiker schreibt dafür P(E) (P steht für das engl. Wort probability). Im Fließtext kürzt man das lange Wort Wahrscheinlichkeit auch gern durch WSK ab.
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung setzt die Kenntnis der WSK für gewisse Elementarereignisse voraus und versucht nun, daraus die WSK für komplizierte Ereignisse abzuleiten. Woher die Elementar-WSKen kommen, ist dabei unwichtig. Eine Möglichkeit ist das Auszählen von relativen Häufigkeiten, eine andere besteht in Symmetrieüberlegungen (wie z.B.: Der Würfel ist vollkommen symmetrisch, jede Seite ist gleichberechtigt. Also muss P(1) = P(2) = … = P(6) sein. In Summe muss die WSK 1 ergeben, also ist P(6) = 1/6). Wichtige Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind einem späteren Beitrag vorbehalten.