Skat und Mathe - Grundlagen und Begriffe

[marvin]

In diesem Thread sollen wichtige Begriffe, die bei der „mathematischen“ Herangehensweise an Skatprobleme eine Rolle spielen, erläutert werden. Deshalb ist dieser Thread auch für die allgemeine Diskussion gesperrt. Sollte jemand Fragen zu hier angesprochenen Dingen haben oder das Bedürfnis, über das eine oder andere Thema zu diskutieren, so kann er gern einen neuen Thread eröffnen.

Im Moment ist dieser Thread noch eine Baustelle, deshalb wirkt er vielleicht unvollständig. Wir werden uns bemühen, schon bald alles Wichtige hier zusammenzutragen.

Eure "Skat und Mathe" - Moderatoren

[marvin]

Was ist die Wahrscheinlichkeit?

Es gibt im Alltag viele Situationen, in denen Ereignisse nicht mit Sicherheit vorhersagbar sind. So hat sich jeder Bahnreisende schon mal die Frage gestellt: Wird mein Zug pünktlich sein? Oder pessimistischer: Wie groß ist die Verspätung? Andere Beispiele: Welche Zahl liegt beim Würfeln oben? Wie viele Buben liegen im Skat?
Auch wenn die genaue Antwort auf diese Fragen erst gegeben werden kann, nachdem das Ereignis eingetreten ist (der Zug ist da, der Würfel ist gefallen, der Skat wurde angesehen), so ist es nicht unmöglich, im Vorhinein Aussagen über den Ausgang zu treffen. So behauptet die Bahn, dass 90% der Züge pünktlich seien. Bei einem guten Würfel erwartet man, dass jede Zahl die gleiche Chance hat, oben zu liegen. Und der Skatspieler geht davon aus, nur selten einen Buben zu finden.
Wiederholt man ein und dasselbe „Experiment“ viele Male und notiert sich dabei, ob ein bestimmtes Ereignis E eingetreten ist (z.B. ob die 6 oben lag oder nicht), so stellt man folgendes fest: Der Quotient aus der Anzahl der Versuche, bei denen E eingetreten ist, und der Gesamtzahl aller Versuche pendelt sich bei einem bestimmten Wert ein. Man nennt diesen die relative Häufigkeit von E. Auch wenn man eine neue Versuchsreihe startet (mit demselben Experiment), so wird sich der Quotient wieder auf einem bestimmten Wert einpendeln – mehr noch: In beiden Versuchsreihen werden die beobachteten relativen Häufigkeiten sehr nahe beieinander liegen.
Zur Illustration nehmen wir eine Münze. Wirft man sie in die Luft und schaut, nachdem sie zur Ruhe gekommen ist, welche Seite oben liegt, so kann das „Kopf“ oder „Zahl“ sein. Wir notieren uns das Ergebnis und wiederholen das Experiment mehrfach. Wenn wir nur 10 Versuche machen, kann die relative Häufigkeit noch starken Schwankungen unterliegen. Es ist sogar denkbar, dass in einer Zehnerserie 10x Kopf kommt und in einer anderen 10x Zahl. Wir erhöhen deshalb die Länge der Versuchsreihen auf 100. Jetzt sollten die relativen Häufigkeiten sich in einer Spannbreite von ca. 25% bewegen (z.B. zwischen 35% und 60%). Erhöhen wir die Versuchsreihen weiter auf 1000, so ist die Schwankungsbreite nur noch 10%.
Man nennt den Grenzwert, gegen den die relative Häufigkeit von E strebt, die Wahrscheinlichkeit von E. Der Mathematiker schreibt dafür P(E) (P steht für das engl. Wort probability). Im Fließtext kürzt man das lange Wort Wahrscheinlichkeit auch gern durch WSK ab.
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung setzt die Kenntnis der WSK für gewisse Elementarereignisse voraus und versucht nun, daraus die WSK für komplizierte Ereignisse abzuleiten. Woher die Elementar-WSKen kommen, ist dabei unwichtig. Eine Möglichkeit ist das Auszählen von relativen Häufigkeiten, eine andere besteht in Symmetrieüberlegungen (wie z.B.: Der Würfel ist vollkommen symmetrisch, jede Seite ist gleichberechtigt. Also muss P(1) = P(2) = … = P(6) sein. In Summe muss die WSK 1 ergeben, also ist P(6) = 1/6). Wichtige Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind einem späteren Beitrag vorbehalten.

[marvin]

Das wahrscheinlichkeitstheoretische Modell des Skatspiels

Ausgangspunkt für Wahrscheinlichkeitsrechnungen im Skatspiel ist das folgende Modell: Nach dem Mischen und Abheben ist jede denkbare Reihenfolge der 32 Karten im Stapel gleichberechtigt. Ein Elementarereignis ist also eine konkrete Reihenfolge der 32 Karten. Insgesamt gibt es hiervon 32! = 32 * 31 * … * 1, eine 36-stellige Zahl. Jede dieser Reihenfolgen hat also die Wahrscheinlichkeit 1/32!
Aus diesem Modell lassen sich weitere elementare Aussagen ableiten, die die Zahlen etwas handlicher werden lassen und auch ohne mathematischen Nachweis einleuchtend sein sollten:
1. Alle Kartenverteilungen sind gleich wahrscheinlich. Bei den Kartenverteilungen soll es nur noch darauf ankommen, welcher Spieler welche Karte bekommt, nicht aber, an welcher genauen Position im Stapel sich diese Karte befunden hat. Die Anzahl der Kartenverteilungen ist immer noch extrem unhandlich (eine 16-stellige Zahl).
2. Wenn ein Spieler seine 10 Handkarten kennt, aber noch keinerlei Informationen über die Verteilung der 22 Restkarten auf die beiden anderen Spieler und den Skat hat, so ist jede denkbare Verteilung dieser 22 Karten gleich wahrscheinlich. Jetzt wird es handlicher, denn es gibt nur noch 42.678.636 Möglichkeiten.
3. Unter den Voraussetzungen von 2. ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich eine bestimmte der 22 unbekannten Karten in der Hand eines bestimmten Spielers befindet, 10/22. Für den Skat gilt die Wahrscheinlichkeit 2/22.
4. Unter den Voraussetzungen von 2. gibt es 22*21/2 = 231 Möglichkeiten für die 2 Karten im Skat. Jede davon ist gleich wahrscheinlich.
Im Laufe des Spiels sammelt der Spieler nun eine Reihe von Informationen, die geeignet sind, bestimmte der unter 2. genannten knapp 43 Mio. möglichen Kartenverteilungen auszuschließen. Das beginnt damit, dass ein Spieler seine 10 Handkarten wütend auf den Tisch knallt oder ein freudestrahlendes Gesicht nicht unterdrücken kann – oder eben solche Gesten unterlässt. Es setzt sich beim Reizen fort und wenn dann die ersten Stiche laufen, zeichnet sich das Bild immer deutlicher ab.
Will man in einer praktischen Situation die genaue Wahrscheinlichkeit berechnen, so müsste man eigentlich wie folgt vorgehen: Jede der knapp 43 Mio. theoretisch denkbaren Kartenverteilungen wird darauf untersucht, ob sie mit den vorhandenen Informationen verträglich ist. Wenn nicht, wird sie „durchgestrichen“. Aus den verbliebenen Konstellationen („praktisch mögliche“) werden dann die herausgesucht, die für das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit man berechnen will, „günstig“ sind. Die WSK ist nun die Anzahl der günstigen Konstellationen geteilt durch die Anzahl der praktisch möglichen.
Diese Vorgehensweise ist leider extrem umständlich und in der Praxis kaum zu bewältigen. Deshalb verzichtet man beim Rechnen oft auf das Auswerten vager Informationen (Gesten, Reizverhalten, Schlüsse aus dem Ausspiel bestimmter Karten auf die weitere Verteilung) und beschränkt sich auf die konkreten Informationen (z.B. HH hat kein Kreuz, MH muss den Alten haben). Freilich sind auf diese Weise die Ergebnisse mit gewissen Unsicherheiten behaftet. Sie werden immer unzuverlässiger, je mehr Informationen man vernachlässigt.