Wichtige Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung

[marvin]

In diesem Thread sollen Methoden, die bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung (insb. im Skatspiel) nützlich sind, vorgestellt werden. Er soll nicht durch Diskussionen verwässert werden und ist daher geschlossen. Wer etwas beitragen will, nicht versteht oder genauer erklärt haben möchte, kann gern einen neuen Thread aufmachen. Die Moderatoren werden dann Erkenntnisse aus solchen Diskussionen, wenn sie denn von allgemeinem Interesse sind, hier einstellen.

Im Moment ist der Thread noch im Entstehen und kann daher unvollständig wirken.

Eure "Skat und Mathe"-Moderatoren

[marvin]

Los geht es mit Kombinatorik!

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung basiert oftmals auf dem Abzählen von Elementarereignissen mit bestimmten Eigenschaften. Hierfür sind die folgenden Formeln nützlich.

Fakultät
n! = 1 * 2 * … * n
Die Fakultät gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, n unterscheidbare Elemente anzuordnen. Zum Beispiel ist die Anzahl der Möglichkeiten, seine 10 Handkarten zu „sortieren“, 10! = 3.628.800.

Binomialkoeffizient
B(n,k) = n! / ( k! * (n-k)! ) = ( n * (n-1) * … * (n-k+1) ) / ( k * (k-1) * … * 1 )
Dabei muss n größer oder gleich k sein.
Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus n Elementen genau k Stück auszuwählen. Zum Beispiel ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus seinen 12 Handkarten 2 zum Drücken auszuwählen, B(12,2) = 66.
Für das Rechnen mit Binomialkoeffizienten (insb. im Kopf) sind die folgenden Regeln hilfreich. Die ersten ergeben sich direkt aus der Definition:
B(n,k) = B(n,n-k)
B(n,0) = B(n,n) = 1
B(n,1) = B(n,n-1) = n
Etwas mehr Überlegung benötigt schon:
B(n,k) + B(n,k+1) = B(n+1,k+1)
Im Excel erhält man die Binomialkoeffizienten durch die Funktion
=kombinationen(n;k)

Polynomialkoeffizient
Man kann den Binomialkoeffizienten auch wie folgt interpretieren: Die n Elemente sind auf zwei Haufen aufzuteilen, wobei ein Haufen aus k und der andere aus n-k Elementen besteht. Diese Idee kann man auf mehr als zwei Haufen verallgemeinern:
Sind k1, k2, …, kr natürliche Zahlen mit k1 + k2 + … + kr = n, so setze
B(n;k1,k2,…,kr) = n! / (k1! * k2! * … * kr!)
Das ist genau die Anzahl der Möglichkeiten, n Elemente in r Gruppen zu k1, k2, …, kr Elementen aufzuteilen. Zum Beispiel ist
B(22;10,10,2) = 42.678.636
die Anzahl der Möglichkeiten, die 22 Karten, die ein Spieler nicht auf der Hand hält, auf die beiden anderen Spieler und den Skat zu verteilen.

Verteilungsmuster
Aufgabe: Ich habe (nach Skataufnahme) 4 der 7 Kreuz-Karten (ohne Bube). Wie viele Verteilungen gibt es, bei denen MH genau 2 Kreuz-Karten hat?
Hier müssen Binomialkoeffizienten kombiniert werden. Für das Blatt von MH sind aus den 3 fehlenden Kreuz-Karten 2 auszuwählen und aus den 17 sonstigen Karten 8. Also ist die gesuchte Anzahl:
B(3,2) * B(17,8 ) = 72.930

Das kann man beliebig kompliziert machen. Angenommen, ich halte nach Skataufnahme 2 Buben, 4 Kreuz, 1 Pik, 4 Herz und 1 Karo. Wieviele Kartenverteilungen gibt es, bei denen MH 2 Buben, 3 Kreuz, 4 Pik, kein Herz und 1 Karo hat?
Lösung: Es sind insgesamt 2 Buben, 3 Kreuz, 6 Pik, 3 Herz und 6 Karo unterwegs. Die gesuchte Anzahl ergibt sich zu:
B(2,2) * B(3,3) * B(6,4) * B(3,0) * B(6,1) = 90

[marvin]

So, es wird höchste Zeit für eine Fortsetzung.

Wir betrachten im Folgenden zwei Ereignisse A und B. Zum Beispiel
A = „Im Skat liegt mindestens eine Kreuz-Karte (incl. Bube)“
B = „Im Skat liegt mindestens ein Volles“

Mit AoB bezeichnen wir das Ereignis „A oder B“. Dabei meint der Mathematiker mit „oder“ kein ausschließliches Oder, sondern immer ein und/oder. Es geht also darum, dass mindestens eins der beiden Ereignisse eingetreten ist. In unserem Beispiel wäre „AoB“ auch erfüllt, wenn Kreuz-Bube und Pik-Ass gleichzeitig liegen. Oder Kreuz-Ass liegt. Aber es reicht natürlich aus, dass Kreuz-Bube oder Pik-Ass liegt und dazu z.B. eine Herz-Lusche.

Mit AuB bezeichnen wir das Ereignis „A und B“. Hier müssen beide gleichzeitig erfüllt sein. In unserem Fall muss also sowohl eine Kreuz-Karte als auch ein Ass liegen. Also z.B. Kreuz-Bube und Pik-Ass oder Kreuz-Ass und eine beliebige andere Karte.

Summenformel

Eine nützliche Formel besagt:

P(A) + P(B) = P(AuB) + P(AoB)

Rechnen wir das in unserem Beispiel nach. Wir gehen dazu davon aus, dass wir keine einzige Karte kennen (also alle 32 Karten gleichberechtigt im Skat liegen können). Insgesamt gibt es 32 * 31 / 2 = 496 Möglichkeiten für die beiden Karten im Skat.

P(A). Es gibt 8 Kreuzkarten. Davon 2 auszuwählen, gibt es 8 * 7 / 2 = 28 Möglichkeiten. Von den 8 Karten eine und von den 24 übrigen Karten eine auszuwählen, sind 8 * 24 = 192 Möglichkeiten. Damit ist
P(A) = (192 + 28 ) / 496 = 220 / 496 = 44,35%

P(B). Es gibt 8 Volle, genauso viele wie Kreuzkarten. Also
P(B) = P(A) = 44,35%

P(AoB) ist auch noch einfach. Es gibt 14 Karten, die Kreuz oder ein Volles sind. Davon 2 auszuwählen, sind 14 * 13 / 2 = 91 Möglichkeiten. Von den 14 Karten eine und von den übrigen 18 eine auszuwählen, sind 14 * 18 = 252 Möglichkeiten. Insgesamt
P(AoB) = (91 + 252) / 496 = 343 / 496 = 69,15%

P(AuB) würde ich mit der obigen Formel zu
P(AuB) = 2 * 44,35% - 69,15% = 19,55%
ermitteln. Zum „Beweis“ der Formel machen wir es aber noch zu Fuß.
AuB ist erfüllt, wenn eine der folgenden Kombinationen liegt:

zwei Kreuz-Volle (1 Möglichkeit)

ein Kreuz-Volles und irgendeine andere Karte (2*30=60)

ein sonstiges Kreuz und ein sonstiges Volles (6*6=36)

Insgesamt: 97 Möglichkeiten und damit
P(AuB) = 97 / 496 = 19,56%
Die Abweichung kommt durch das Runden zustande, sollte uns also nicht nervös machen.

Folgerung: Disjunkte Ereignisse

Zwei Ereignisse nennt man disjunkt, wenn sie unmöglich gleichzeitig eintreten können, also P(AuB) = 0 ist. Dann ist
P(AoB) = P(A) + P(B)