Kuriose Verteilung

[Kantholz]

zur Plausibilität Hand vs. Skataufnahme

Wenn das Handspiel gegen das Spiel mit Skataufnahme eine höhere GewinnWk hätte (meinetwegen auch vor Ausspiel), vergleiche ich 2 Theorien miteinander. Dies würde zu der Schlussfolgerung führen, dass das Handspiel dem Spiel mit Skataufnahme vorzuziehen sei. Diese Formulierung halte ich von daher für nicht zulässig.
Berechnet werden kann jedoch die Findung von passenden Karten bei Skataufnahme.

[Leichenheinrich]

Ich bemühe mal eine Analogie zum Lotto: Die Chancen auf einen 3er sind in dem Moment geringer, wenn Dir die Lottofee nach Abgabe Deines ausgefüllten Wettscheins 2 aus Deiner Sicht Falsche ansagt. Füllst Du nach diesen 2 bereits bekannten Ziehungen einen neuen Wettschein mit jetzt 2 garantiert Richtigen aus, wird Dir der Anbieter eine schlechtere Quote auf Geldauszahlung für einen 3er als ursprünglich geben, weil dieser zweiter Schein eine deutlich höhere Gewinnaussicht hat. Für eine Betrachtung der Ziehung als Einheitsprozess, in dem quasi ein Zufallsgenerator auf Knopfdruck 6 Richtige gleichzeitig ausspuckt, ist die Wahrscheinlichkeit auf den 3er natürlich immer gleich. Und so ist die Lottoziehung auch im eigentlichen Sinne immer zu betrachten - "In-Game-Wetten" sind mir jedenfalls unbekannt. Beim Sport bspw. sind diese aber durchaus üblich und analog kann auch Skataufnahme oder gar Spielentwicklung nach jeder einzelnen gelegten Karte begriffen werden als Handlungsanpassung nach Informationsgewinn.

Skataufnahme lohnt immer dann, wenn die Gewinnerwartung durch Informationsgewinn und Umdrückung steigt. Das trifft für gewöhnlich fast immer zu. Hier in diesem Fall begrenzt sich das auf Pik oder rote 7/8 – jedes Kreuz bedeutet auch bei Hand Spielgewinn. Bei Farbspielen gibt es allerdings Sonderfälle wie Totfindungen bei Reizung ohne Bauern, die unberührt in einem Handspiel zumindest noch Chancen oder im Extremfall sogar Garantie auf Spielgewinn bieten.

Die Angabe der geringeren Gewinnwahrscheinlichkeit nach Skataufnahme für diesen NO blendet alle Gewinnszenarien durch Skatfindung aus und bezieht sich explizit auf den möglichen Verlustfall. Findet AS aber Kreuz, Singlepik oder rote 7 hat er 100%. Oder wie bereits geschrieben:

[...]
Für einen Nullouvert mit diesem Blatt errechne ich vor Skataufnahme 98,68% und wenn das Spiel nach Skataufnahme noch nicht sicher ist 96,72%. Der Nullouvert Hand liegt bei 96,32% - in dieser Rechnung entfallen die roten Sieben, da sie keinen Nutzen im Skat haben, und die Pik werden rechnerisch anders behandelt, weil deren Stellung unbekannt ist und der Aufschlag nicht angepasst werden kann.
[...]

(alles ohne Schiefstand!)

PS:
In diesem Sinne ist Deine Schlussfolgerung falsch. Mal abgesehen von Unstimmigkeiten durch Verwendung von Allgemeinwerten und Betrachtung verschiedener Ausspielsituationen folgt aus

[...]
Das heißt im Umkehrschluss, dass man bei einem Handspiel ohne Ausspiel in 94,26% der Fälle sein Spiel theoretisch gewinnt.
Nimmt man den Skat auf, so kann man das einfacher in Excel nach der hypergeometrischen Verteilung berechnen zu: =(HYPGEOMVERT(4;10;4;20)+HYPGEOMVERT(0;10;4;20)) = 8,67%. Man gewinnt dann nur in 91,3% der Fälle sein spiel.
[...]

nicht zwingend

es wird behauptet, dass " Hand" hier zu 94% und mit Skataufnahme zu 91% gewonnen wird.
[...]

denn Weiterrechnung nach Skataufnahme impliziert möglichen Spielverlust - direkter Spielgewinn durch Skataufnahme ist für die weitere Betrachtung schlicht ohne Interesse, weil anderer Tatbestand. Wer zum sicheren Sieg findet, schert sich schließlich auch nicht mehr um Verlustszenarien durch Ziehung zweier Nieten.

PPS:
Für den Bezug, den Du herstellen möchtest, fehlt in der Skatfuchs'schen Betrachtung der Wert für die NO vor geplanter Skataufnahme, der noch alle möglichen Findungen zum sicheren Spielgewinn enthält. Welche der 84 von 1463 Kombinationen Skatfuchs da konkret ermittelt, weiß ich nicht - ich vermute, die leiten sich aus einem ganz anderem Kartenstand her - aber selbst wenn man diese Allgemeinwerte pro forma auf das eingestellte Blatt anwenden will, sollte leicht ersichtlich sein, daß zumindest die roten 7en und Doppelpik immer einen Unterschied zur NOH ausmachen.

Ein anschaulicher Allgemeinfall wäre bspw.



in HH bei kampfloser Reizung, weil dann davon auszugehen ist, daß GP immer eine Übergabe ermöglichen kann. Um diesen NOH zu schlagen, braucht GP Kreuz zu viert - egal was im Skat liegt. 4 aus 22 für 10 in VH oder HH macht 94,3% für AS. Entscheidet sich AS zur Skataufnahme, genügt es eine von 13 Karten zum sicheren Sieg zu finden. Mit 13 aus 22 für 2 ist dies nur zu 15,6% nicht der Fall. Liegen z.B. beide rote Däuser, hat die NO nach Drückung noch 91,3% (4 aus 20 für 10 in VH oder MH). Die Gewinnwahrscheinlichkeit der NO vor geplanter Skataufnahme beträgt 98,6% (=0,156*0,913+0,844*1).

[marvin]

Die Missverständnisse rühren daher, dass Skatfuchs zwei verschiedene Szenarien betrachtet:

1. Wie wahrscheinlich ist es, mit den 10 gezeigten Handkarten ein Null-Ouvert-Hand zu gewinnen?

2. Wie wahrscheinlich ist es, wenn man nach Skataufnahme und sinnvollem Drücken diese 10 Karten behält, ein Null-Ouvert zu gewinnen?

Der Fall 2 hat logischerweise eine geringere Gewinn-WSK, weil wir ja wissen, dass zwei unpassende Karten liegen, während im Fall 1 z.B. ein Kreuz liegen könnte und damit der NOH theoretisch wird.

Dieser Vergleich hat aber rein gar nichts mit der Frage zu tun, ob man in diesem Szenario den Skat aufnehmen sollte, wenn es denn von der Reizung her möglich ist.

[Skatfuchs]

Hallo,

marvin hat es nochmals richtig gestellt und ich hatte ja auch immer betont, dass dies für den allgemeinen Fall gilt, wenn der AS nicht im Anspiel ist.
Will man wissen, was man noch im Skat finden kann, um sein Blatt zu verbessern, so muss man die Anzahl der "Guten Karten" bestimmen, die dazu beitragen. Im letzten Beispiel von Heinrich sind das 4 in Kreuz und je 3 in den anderen 3 Farben = 13 Gute Karten.
Die findet man mit einer Wkt. von 84,4% im Skat, vgl. hier : https://www.skatfuchs.eu/seite18.htm

Daraus kann man dann theoretisch über den mittleren Spielertrag berechnen, ob es sich lohnt, in den Skat zu schauen, wenn es von der Reizung her noch möglich ist. Das kann man aber kaum im realen Spiel aus Zeitgründen tun und so ist es oft ein Ermessensentscheid.
Die KI-Spieler machen das aber.

In meinem Ausgangsblatt war dies ohnehin nicht möglich und nur wenige Karten hätten das Spiel verbessert, wobei die 4 Kreuzkarten dafür auch im Skat liegen konnten, um es 100%ig zu machen.

[Leichenheinrich]

Liegt ein Kreuz, ist auch der NOH immer gewonnen. Die Findung von Kreuz im Skat verbessert mit Aufnahme insofern nur in Bezug zum NO vor geplanter Aufnahme des noch unbekannten Skats.

Für die Reizentscheidung am Tisch genügt HelAus Abschätzung GW>90% völlig. Ob man dann, wenn überhaupt möglich, den Skat aufnimmt, würde ich (streng auf die Null bezogen unter Ausblendung einer Findung zu einem Alternativspiel) von der Notwendigkeit der zusätzlichen 13 Punkte im Spielwert abhängig machen und nicht von der absehbar sehr geringen Differenz zweier am Tisch ohnehin nur schätzbaren Gewinnwahrscheinlichkeiten. Bereits ein glücklich erspielter Schneider an anderer Stelle macht Verzicht in dieser Situation annähernd wett.

Mathematisch lassen sich Spielerträge für einen Vergleich allerdings sehr wohl bestimmen:

Im Allgemeinfall ergibt sich für den Ertrag mit
GW = 98,6% für NO -> EW = 44,1 im Centskat bzw. 92,7 auf Turnierliste [Situation vor geplanter Aufnahme des noch unbekannten Skats]
GW = 94,3% für NOH -> EW = 48,9 im Centskat bzw. 93,2 auf Turnierliste
Die Herleitung der Gewinnwahrscheinlichkeiten ist im letzten Absatz des PPS in [Post#27: 26. Dez 2021 20:16] beschrieben.

Für den speziellen NO mit



in VH gilt vor geplanter Skataufnahme
8 aus 22 für 2 = 0,6061 -> 100% mit Pikaufschlag [jedes Pik, jede 7, jedes Kreuz]
2 aus 22 für 2 = 0,0043 -> 91,34% mit Aufschlag Kreuz 9 [Sonderfall Doppelpik]
2 Nieten: 1-0,6061 = 0,3939 -> 96,74% mit Pikaufschlag [4 Kreuz + höchste Pik beisammen, also 5 aus 20 für 10 in MH oder HH]
GW (NO) = (0,6061-0,0043)*1 + 0,0043*0,9134 + 0,3939*0,9674 = 0,9868 oder 98,68%
Nicht enthalten sind die roten Achten. Da man für deren Gewinn als Blankaufschlag wiederum einfarbigen und bunten Skat berücksichtigen muss und der Effekt ohnehin nur marginal sein dürfte, schenk ich mir das an dieser Stelle.

Den Rechenweg für den speziellen NOH habe ich bereits weiter oben erläutert. [Post#19: 25. Dez 2021 14:54]

Im Spezialfall ergibt sich demnach für den Ertrag mit
GW = 98,68% für NO -> EW = 44,2 im Centskat bzw. 92,9 auf Turnierliste [Situation vor geplanter Aufnahme des noch unbekannten Skats]
GW = 96,32% für NOH -> EW = 52,5 im Centskat bzw. 98,8 auf Turnierliste

Die erhöhte Gewinnwahrscheinlichkeit durch Entscheidung zur Aufnahme des noch unbekannten Skats egalisiert also nicht den Spielwertvorteil des NOH. Allerdings blendet diese Betrachtung natürlich zusätzliche Findungen zum Vorhandgrand aus, die ebenfalls Spielgewinn ermöglichen und den Spielwert sogar noch sehr deutlich erhöhen können. Abgesehen davon bietet Skataufnahme eine Absicherung gegen mutmaßliche Schiefstände - einerseits bei Hochreizung generell, anderseits schon im niedrigen Bereich bei kritischer Farbreizung. Hängt die Null bspw. auf [Ass Bauer 9 7] in Herz und jemand passt auf gehaltene 20 oder 30 (insbesondere bei Weiterreizung bis 30 nach Grübelei auf gehaltene 20), sollte das Interesse an einer günstigen Umdrückung steigen.

[E: Definiert man Blankaufschlag der roten Achten vereinfacht als sicher, was immerhin zu 99,7% für bunten und 98,9% für einfarbigen Skat der Fall ist, so erhält man mit 10 aus 22 für 2 eine Findewahrscheinlichkeit von 28,57% für 2 Nieten im Skat anstatt der verwendeten 39,39%. Damit ergibt sich für den speziellen NO eine etwas höhere Gewinnwahrscheinlichkeit von 99,03%, was den Ertrag des speziellen NO minimal auf 44,7 bzw. 93,7 erhöht, aber grundsätzlich nichts am Fazit ändert.]

[Leichenheinrich]

Nach nochmaliger Prüfung der Berechnung für den speziellen Nullouvert Hand sind mir in beiden Rechenwegen Unstimmigkeiten durch Überschneidungen einzelner Kombinationen aufgefallen. Ich vermute, man kommt nicht an einer Betrachtung des Skat als Einzelziehung vorbei. Mit der Prämisse eines Pikaufschlags erhält man:

Einzelziehung        Z1       Z2      Skat    Stellung   GWkt

erst Pik dann Pik   0,0909   0,0476   0,0043   1,0000   0,0043
erst Pik dann Rot   0,0909   0,7619   0,0693   0,0326   0,0023
erst Rot dann Pik   0,7273   0,0952   0,0692   0,0326   0,0023
erst Rot dann Rot   0,7273   0,7143   0,5195   0,0326   0,0169


(Rot = Herz oder Karo, also weder Pik noch Kreuz)

Die zusammengefassten Einzelwahrscheinlichkeiten ergeben für die Gesamtgewinnwahrscheinlichkeit GW(NOH) = 97,42%. Auf diese Weise dürften sowohl alle Verlustszenarien erfasst als auch Überschneidungen ausgeschlossen sein.

Für den NO ändert sich nichts, weil dort über die Nieten aus Sicht des AS angesetzt wird und alle noch unbekannten Sicheren auch tatsächlich wirksam werden. Den Einfluss der blanken Achten kann man noch genauer bestimmen, aber der Aufwand lohnt nicht wirklich. Deren Betrachtung als Sichere dürfte allerdings deutlich näher am präzisen Wert liegen als deren Betrachtung als Nieten. Ich denke, mit 99,0% ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für den speziellen NO gut beschrieben.

Auch für den Allgemeinfall ändert sich nichts, weil dort Spielverlust allein von der Gegenstellung zum Ass zu viert abhängt unter Ausblendung des äußerst unwahrscheinlichen Falles einer fehlenden Übergabe.

Der Übersichtlichkeit halber fasse ich nochmal zusammen:

Allgemeinfall positionsunabhängig



Spezialfall in Vorhand

            GW[%]   EW Cent  EW Liste
         
Allgemeinfall         
NOH            94,3   48,9   93,2
NO             98,6   44,1   92,7
[tauber Skat   91,3   34,0   75,3]
         
Spezialfall         
NOH            97,4   54,4   101,8
NO             99,0   44,6   93,6
[tauber Skat   96,7   41,4   88,1]



Die aktualisierten Werte zeigen im Vergleich der Erwartungswerte [spez NO vs spez NOH] eine leicht erhöhte Differenz, was noch etwas deutlicher für das Handspiel spricht. Mit einem Vorteil von 10 Cent fährt man wohl besser mit dem Handspiel als mit Aufnahme auf einen teuren Grand zu hoffen. Selbst eine 10%ige Chance auf Spielwert 96, was beides recht hochgegriffen ist, ergeben nur einen EW von 51 Cent - der NOH bringt immernoch 3,5 mehr. Absicherung gegen Schiefstände ist bei eindeutigen Indizien natürlich weiterhin zu empfehlen.

[Skatfuchs]

Hallo,

es ist schön, dass du dich so tiefgründig in die Materie eingedacht hast.

Deine Zahlen für den allgemeinen Fall stimmen nun und der ist wohl der deutlich häufigere! Mir ist ein Blatt mit 2 NOH bisher noch nie in meinem "langen Skatleben" wissentlich vorgekommen.
Ergänzen möchte ich auch nur noch, dass unter deiner Rubrik "tauber Skat" zu verstehen ist, dass man keine Karte zur Verbesserung gefunden hat und die NO mit der Schwachstelle eines Asses zu viert spielen muss.

Auch der spezielle Fall sieht jetzt gut aus, da man den nicht einfach über die 5 Karten rechnen kann, die dann auf einer Hand stehen müssen. Denn bei dem Blatt ist das wohl zwangläufig so, dass zu den Pik- auch noch die Kreuzkarten beim anderen GS stehen müssen.

Ich wünsche allen Skatfreunden einen Guten Rutsch in das Jahr 2022.

[Leichenheinrich]

Meine "Zahlen für den allgemeinen Fall" haben sich doch überhaupt nicht geändert? Sie finden sich in meiner abschließenden Zusammenstellung exakt so wieder, wie seit meiner Einführung unter dem bebilderten Beispiel. [Post#27: 26. Dez 2021 20:16]

Beim tauben Skat ist für den Spezialfall auch Doppelpik berücksichtigt, bloß nicht sichtbar aufgrund der Rundung auf eine Nachkommastelle - die Erfolgsaussicht des "normalen" tauben Skats mit 96,74% senkt sich dadurch lediglich um 0,02%. Mit Findung Doppelpik verbessert man sich streng genommen aber schon, weil dann Kreuz 9 mit 91,3% gewinnt, Pik 7 jedoch beim Handspiel sicher verliert.

Im Spezialfall errechne ich die Gegnerstellung auch weiterhin mit 5 aus 20 für 10, also immer die höchste verfügbare Pik bei den 4 Kreuzen. Genau das ist ja auch der spezifische Unterschied zum Allgemeinfall. Dass diese Stellung keineswegs eine Zwangsläufigkeit darstellt, sollten die 3,26% mit [5 aus 20 für 10] versus 8,66% mit [4 aus 20 für 10] doch eigentlich recht deutlich illustrieren. Diese 3,26% beziehe ich nun aber korrekterweise auf die Skatkombinationen, welche dies überhaupt erst ermöglichen. Bei meiner zweiten Rechnung waren das noch alle Skatkombinationen außer Doppelpik in der falschen Annahme, dass die Prämisse der 5 Richtigen für GP alle unbrauchbaren Skatkombinationen automatisch ausschließt. Die erste Rechnung war insofern bereits die leicht bessere, weil es dort weniger Überschneidungen durch die etwas erweiterte, letztlich aber dennoch ungeeignete Fallunterscheidung gibt.

Sachdienliche Hinweise zu Unstimmigkeiten sind weiterhin willkommen. Ansonsten schlag ich dann, wenn mich mal wieder ein Ungeschick mit Hypergeometrischer Verteilung quält einfach hier nach.

[MonsieurL]

Mir ist ein Blatt mit 2 NOH bisher noch nie in meinem "langen Skatleben" wissentlich vorgekommen.

Mir schon. Es war bei einem von Euroskat veranstalteten Live-Turnier. Ich führte vier Asse und drei 10en und hatte keine Farbe länger als drei mal. Ich stand schlecht, hätte das Spiel also ohne zu zucken bis 120 durchgezogen. Doch dankenswerter Weise saß ich in HH. Und als beide bei 59 noch dabei waren, habe ich blutenden Herzens doch lieber gepasst. Ich wäre u.U. schwarz geworden.