wenn ziegen anfangen zu zicken

[mingerhbs]

hi knobler,
hier hab ich mal eine aufgabe für euch, die diesmal nichts mit skat zu tun hat.

in einer spielshow soll der kandidat eines der drei aufgebauten tore wählen. dem kandidaten ist bei seiner wahl bekannt, dass sich hinter einer tür sich ein gewinn und hinter 2 türen sich eine ziege (zonk / niete) befindet.
nachdem der kandidat sich für ein tor entschieden hat, zeigt der moderator (der auch weiss, hinter welchem tor sich der gewinn befindet) eines der beiden übrigen tore hinter dem sich eine ziege befindet. es bleiben also noch 2 türen, hinter denen sich noch eine ziege und der gewinn befinden.
der kandidat muss sich nun zwischen den beiden übrig gebliebenen toren entscheiden. entweder bleibt der kandidat bei seiner wahl, oder er wechselt auf das andere noch übrig gebliebene tor.

wie sollte sich der kanditat nun entscheiden, um seine gewinnchancen zu maximieren?

[fritzel]

wie sollte sich der kanditat nun entscheiden, um seine gewinnchancen zu maximieren?

er fordert ein viertes tor mit der bedingung den gewinn dahinter zu verstecken.



fritzel

[Elrabos]

Bin zwar nicht der grösste Wahrscheinlichkeitsrechner, aber ich denke er sollte bei seiner Wahl bleiben.

[Elia]

Er muss wechseln, dann verdoppeln sich die Gewinnchancen.
Es gibt drei Möglichkeiten der Zustände.
x00
0x0
00x
Angenommen Tor 1 ist die erste Wahl, so gewinnt er demnach bei Wechsel zweimal und bei Tor 1 nur einmal.
Elia

[mingerhbs]

@Elia

glückwunsch, du hast es gelöst.
wenn ich ehrlich bin, hatte ich damals (als ich von diesem rätzel das erste mal hörte) auf 50:50 getippt. aber das es hier für tatsächlich nur eine lösung gibt, hatte ich nicht gedacht.

hier http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem findet ihr eine ergänzung zu elias ausführungen[/url]

[Elia]

Danke für die Glückwünsche. Die Lösung war/ist aber nicht auf meinem Mist gewachsen. Von Randow hat das "Ziegenproblem" ausführlich in seinem Buch beschrieben. Dies und rudimentäre Kenntnisse in a priori Verteilungen ließen mich die Lösung "erkennen".

[Olleicke]

Man kann sich die Lösung wie folgt plausibel machen:

Stell dir vor, es gäbe 100 Tore. Wenn man zu Anfang falsch gelegen hat, kann er von den verbleibenden 99 Toren 1 von 98 auswählen (das richtige natürlich nicht). Wenn man aber richtig gelegen hat, kann er von den verbleibenden 99 Toren alle 99 auswählen. Man hat doch lieber 1/98 Chance als 1/99!

Gruß,
Olleicke, der das Rätsel auch kannte

[Karlzberg]

alles sehr theoretisch...
wahrscheinlichkeitsrechnung war bis jetzt noch nie so meins, also von formeln usw her, daher hab ich auch keine ahnung, ob es dazu irgendwelche formeln oder ähnliches gibts. aber rein logisch denke ich wie folgt:

von den ersten drei toren wählt er tor 1
danach wird tor 3 geöffnet, da war der zonk.
nun bleiben noch tor 1 und tor 2.

warum sollte ich nun umwählen? dadurch werden doch weder tor 1 noch tor 2 wahrscheinlicher. wenn ich nun neu wähle, dann ist das ok, dann hab ich ne höhere chance. aber die neuwahl kann auch tor 1 lauten (was ich ja schon vorher gewählt habe). denn für beide tore gibt es eine 50-50 chance.

daher macht es meiner meinung nach keinen sinn, umzuwählen.

somit wäre meine antwort auf die frage gewesen:

die chancen stehen jeweils gleich.

aber elia hat mich ja eines besseren belehrt

[Olleicke]

Entschuldige, wenn ich dich korrigiere, Karlzberg. Die Lösung dieses Rätsels ist eine Frage der Logik, nicht der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Man hätte es auch mathematisch anfangen können. Dann wäre dir was vom "priciple of restricted choice" erzählt worden (nachzulesen u.a. bei Nash, der jüngst durch den Film "A beautiful mind" zu erneuter Popularität gefunden hat). Aber wie gesagt: Simple Logik hätte zum Ziel geführt. Es ist ja gerade der Reiz dieser Aufgaben, dass man mit spontaner, gefühlsmäßiger Einschätzung oft falsch liegt.

Schönen Gruß,
Olleicke

[Gast]

Entschuldige, wenn ich dich korrigiere, Karlzberg. Die Lösung dieses Rätsels ist eine Frage der Logik, nicht der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Ich sehe es aber eindeutig fuer einen Fall der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Fall 1:
Du entscheidest Dich nicht um:
Dann gewinnst Du mit 33 prozentiger Wahrscheinlichkeit, sprich 1/3 da sich die Wahrscheinlichkeit durch das Umdrehen eines falschen Tores nicht veraendert.

Fall 2:
Du entscheidest Dich um:
Nun gewinnst Du mit 66 prozentiger Wahrscheinlichkeit, denn Du gewinnst immer dann, wenn Dein erster Tipp falsch war ( in 2/3 der Faelle )


Also Zur Verdeutlichung:


Der Gewinn ist hinter Tor1, Tor2 oder Tor 3.
Die Chance das richtige zu treffen ist logischer Weise 1/3.

Falls du bei deiner Meinung bleibst aendert sich nichts daran.

Entscheidest Du Dich aber um gibts diese 3 Faelle:

Fall 1: Du hast bereits das richtige Tor -> Ein Wechsel verliert natuerlich automatisch
Fall 2 und 3: Du hast das falsche Tor -> in beiden Faellen bedeutet das Um-entscheiden den Gewinn

Somit gewinnst Du nun in 2/3 der Faelle.

Logisch ist das Wahrscheinlichkeitsrechnung

[tetschebumm]

Hallo,

das Entscheidende hat minger in Klammern gesetzt: der Moderator weiß, wo der Preis ist. Man müsste eigentlich noch hinzufügen: er wird den Preis auch nicht absichtlich offenbaren; aber das liegt eh in der Logik des Spieles und wird vorausgesetzt.

Daraus folgt: der Moderator wird nach der Wahl des Kandidaten IMMER ein Ziegentor öffnen, weil er das so macht, wenn er es kann (s.o.) und es IMMER kann. Die ursprüngliche Wahrscheinlichkeitsverteilung von 1/3 für den Preis im gewählten und 2/3 für die beiden anderen Tore wird also durch das Zeigen einer Ziege nicht verändert.

Eine Variation des Ziegenrätsels, die m.E. wegen der unklaren Moderatorenrolle nicht so eindeutig zu beantworten ist, ist das folgende Rätsel:

Eine Familie hat zwei Kinder. Eines davon ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das andere ein Mädchen ist?

Vorausgesetzt ist natürlich, daß die W.keit für die Geburt eines Mädchens so groß wie die eines Jungen ist.

Gruß tetsche

[Olleicke]

Klasse Beitrag, Tetschebumm!

Ursorünglich gab es 4 Möglichkeiten:
JJ
JM
MJ
MM
Da Jungs und Mädels gleich oft vorkommen, und jedes Ereignis gleich wahrscheinlich ist, sind es dann 50%.

Hier fällt nun JJ aus. Deshalb stehen 4 Ms nur 2 Js gegenüber -> 2/3.

Man kann es auch wiedre parallel zu den Ziegen erklären: Wenn das andere Kind ein Junge ist, musste man dieses Kind auswählen, wenn man ein Mädel zeigen wollte. Wenn das andere Kind ein Mädel ist, hatte man die wahl, welches Kind man zeigt - hätte also nur in 50% der Fälle dieses Mädel ausgewählt, in 50% das andere. Also steht wieder 100"%" zu 50"%", oder mit anderen Worten 1/3 zu 2/3.

Hättest du gesagt: " Das ältere Kind ist ein Mädel", dann wäre es für das andere Kind natärlich wieder 50/50 gewesen.

Gruß,
Olleicke

[tetschebumm]

Hallo Olleicke,

deine Antwort enspricht vollkommen der Musterlösung und ich war auch ziemlich lang von ihr überzeugt.

Müsste man aber nicht mehr darüber wissen, was derjenige, der die Aussage macht, über die Familie weiß? Nehmen wir an, er weiß ( warum auch immer), dass eine Familie 2 Kinder hat, klingelt bei dieser Familie an der Tür und bittet: "Schickt eines Eurer Kinder nach draussen!". Oder anders formuliert: ist die Tatsache, daß der Moderator das Geschlecht des einen Kindes, aber eben möglicherweise nicht das des anderen kennt ( denn das ist m.E. unklar), nicht eine Festlegung des einen Kindes auf einen festen Platz ähnlich des Geburtsvorganges? Ist eine Argumentation statthaft, die das Kind, von dem der Moderator zufällig zuerst erfährt, zum Ältesten macht? Oder spielt es eine Rolle, dass dieses erste Kind, von dem der Moderator erfährt ( um beim Ausgangsbeispiel zu bleiben) evtl. deshalb kein Mädchen ist, weil es kein Mädchen gibt?

Gruß tetsche

[Olleicke]

Ja, Tetschbumm, da hast du völlig recht! Einerseits, andererseits schriebst du aber auch, dass die Fragestellung parallel zu der Ausgangsfrage mit den Ziegen zu sehen war. Deshalbging ich davon aus, dass der Moderator beide Kinder dieser Familie kannt, und eben eines davon vorzeigt - unter der Voraussetzung, dass auch das andere Kind vorzeigbar gewesen wäre. Denn das ist klar: Wäre das andere Kind gerade im Kino, also nur dieses Kind vorzeigbar, dann wäre es wieder 50/50.

Ja die Aufgabenstellung war etwas verkürzt, in meinen Augen aber durch den Hinweis auf die Analogie zum Ziegenrätsel ausreichend erklärt.

Schönen Gruß,
Olleicke