Hallo!
Ich habe mal versucht, die exakte Gewinnwahrscheinlichkeit des Grand-Ouverts zu berechnen. Wenn jemand einen Fehler entdeckt, habe ich was übersehen
.
Um 22 Karten auf die Gegenspieler in Vorhand und Mittelhand sowie den Skat zu verteilen, gibt es
42.678.636 Möglichkeiten.
Auf Verlust steht der Grand-Ouvert bei folgenden Verteilungen (Hinweis: [x,y,z] bedeutet im Folgenden [VH,MH,Skat]):
Pik [3,0,0] und Karo-Bauer [0,1,0]:
1.750.320 Möglichkeiten
Pik [2,0,1] und Karo-Bauer [0,1,0]:
1.312.740 Möglichkeiten
Pik [1,0,2] und Karo-Bauer [0,1,0]:
145.860 Möglichkeiten
Karo [4,0,0] und Karo-Bauer [0,1,0]:
680.680 Möglichkeiten
Karo [3,0,1] und Karo-Bauer [0,1,0]:
777.920 Möglichkeiten
Karo [2,0,2] und Karo-Bauer [0,1,0]:
145.860 Möglichkeiten
Man darf diese Möglichkeiten aber nicht einfach zusammenzählen, um alle Verlustverteilungen zu erfassen, da manche Verteilungen doppelt gezählt werden würden, nämlich:
Pik [3,0,0] und Karo [4,0,0] und Karo-Bauer [0,1,0]:
20.020 Verteilungen
Pik [3,0,0] und Karo [3,0,1] und Karo-Bauer [0,1,0]:
40.040 Verteilungen
Pik [3,0,0] und Karo [2,0,2] und Karo-Bauer [0,1,0]:
12.012 Verteilungen
Pik [2,0,1] und Karo [4,0,0] und Karo-Bauer [0,1,0]:
30.030 Verteilungen
Pik [1,0,2] und Karo [4,0,0] und Karo-Bauer [0,1,0]:
6.006 Verteilungen
Pik [2,0,1] und Karo [3,0,1] und Karo-Bauer [0,1,0]:
24.024 Verteilungen
All diese Verteilungen müssen also von obigen abgezogen werden.
Man erhält auf diese Weise
4.681.248 Verteilungen, bei denen der Grand-Ouvert auf Verlust steht.
Wie Chevalier richtig bemerkt hat, wird der Gegenspieler in Vorhand aber nicht bei all diesen Verteilungen den Gewinnweg finden. Wenn nämlich sowohl über Pik als auch über Karo ein Verlust möglich ist, wird sich der Gegenspieler in Vorhand für die Karte entscheiden, in denen der Verlust am wahrscheinlichsten ist. Hält er beispielsweise 2 Pik und 2 Karo, wird er Pik bringen, auch wenn der Spielverlust theoretisch über Karo ebenfalls möglich ist. Hält er 2 Pik und 3 Karo, muss er raten (die Verlustwahrscheinlichkeit ist für beide Karten gleich).
Deshalb wird der Gegenspieler in Vorhand bei folgenden Verteilungen den Gewinnweg nur zu 50% finden:
Pik [2,0,1] und Karo [3,1,0] und Karo-Bauer [0,1,0]:
216.216 Verteilungen
Pik [2,1,0] und Karo [3,0,1] und Karo-Bauer [0,1,0]:
216.216 Verteilungen
Pik [1,0,2] und Karo [2,2,0] und Karo-Bauer [0,1,0]:
61.776 Verteilungen
Pik [1,2,0] und Karo [2,0,2] und Karo-Bauer [0,1,0]:
61.776 Verteilungen
Daneben greifen und den Gewinnweg zu 0% finden wird Vorhand bei folgenden Verteilungen:
Pik [1,0,2] und Karo [3,1,0] und Karo-Bauer [0,1,0]:
36.036 Verteilungen
Pik [2,1,0] und Karo [2,0,2] und Karo-Bauer [0,1,0]:
54.054 Verteilungen
Berücksichtigt man diese Spezialfälle, bleiben
4.313.166 Verteilungen, bei denen der Alleinspieler den Grand-Ouvert verliert.
Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Grand-Ouverts liegt somit bei 89,89 %.
Bei einer Wahrscheinlichkeit von 9,09 % für Karo-Bauer im Skat entspricht das einem
Erwartungswert von +209,31 Wertungspunkten. Der Grand Hand Schneider angesagt bringt dagegen sichere 218 Wertungspunkte und hat einen noch höheren Erwartungswert durch die Schwarz-Option und die Möglichkeit des Karo-Bauern im Skat.
Fazit: Aus mathematischer Sicht sollte Grand Hand Schneider angesagt gespielt werden!
Vorausgesetzt wurde für die Analyse optimales Gegenspiel. Zusatzinfos, die sich durch die Reizung der Gegenspieler ergeben, wurden nicht berücksichtigt. Sollte Vorhand mit 5 oder 6 Kreuz und Herz-As über Null gehoben haben, steigt die Gewinnwahrscheinlichkeit des Grand-Ouverts, da eine Pik- oder Karo-Länge in Vorhand unwahrscheinlicher wird. Sollte Vorhand ein ehrliches Nullspiel gereizt haben (wahrscheinlichster Fall), lassen sich daraus kaum verwertbare Zusatzinfos basteln.
Schöne Grüße,
erasmus