Hallo zusammen,
Als ambitionierter Hobbyspieler (ausschließlich am Tisch) erfreue ich mich schon eine geraume Zeit an Niveau und Umgangston in diesem Forum.
Diese jüngste Frage zu einem statistischen Problem möchte ich nun zu meiner ersten aktiven Beteiligung nutzen.
Zum Thema :
Die Frage der Wahrscheinlichkeit eines gehäuften Auftreten von vier Bauern auf einer Hand lässt sich tatsächlich sehr genau beantworten.
Ich nehm´s mal vorweg: Dies passiert tatsächlich nur alle 8.250 Listen. (also für einen vorher !! bestimmten Spieler)
Fragen wir zunächst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Spieler ist, vier Jungs in den zugeteilten 10 Karten zu finden. Dies lässt sich (wie schon häufiger erwähnt) mit der hypergeometrischen Verteilung bestimmen und beträgt ungefähr 0,58%.
Wer damit nicht so vertraut ist, kann diese Wahrscheinlichkeit auch anders nachvollziehen. Der erste Bube fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 zu 32 dem vorher bestimmten Spieler zu, der zweite dann nur noch mit 9 zu 31, der dritte mit 8 zu 30 und der letzte schlussendlich mit 7 zu 29. Da alle diese (Elementar-)Ereignisse eintreffen müssen, kann man diese „Kette“ multiplizieren und erhält so eben 0,58%....(Diese Heuristik funktioniert ebenso für „Null“ Bauern nicht jedoch für die Verteilung von 1-3 Buben)
Fragt man nun analog nach der Wahrscheinlichkeit für vier Bauern auf einer Hand NACH Skataufnahme erhalten wir dagegen schon eine Wahrscheinlichkeit von 1,38%. (Statt mit 10 bis 7 ist dann analog mit 12 bis 9 zu rechnen.)
Doch nun zum Eigentlichen :
Im Verlauf einer gesamten Serie absolviert der betrachtete Spieler nun 36 Spiele. In jedem dieser Spiele KANN nun der Spieler „von Haus aus“ vier Bauern auf die Hand bekommen oder nach Skateinsicht halten. Im Unterschied zum Fallen der einzelnen Buben auf eine Hand, sind diese Ereignisse nun jedoch unabhängig voneinander. (Dies ist gemeint, wenn gesagt wird „Der Zufall hat kein Gedächtnis.“)
In diesem (unabhängigen) Fall wird die hypergeometrische Verteilung durch die Binomialverteilung ersetzt. In unserem Fall also :
W(X=x)=Komb(36;x)×〖0,0058〗^x×〖0,9942〗^(36-x)
für die Verteilung von vier Buben auf genau einen Spieler vor Skateinsicht
und
W(X=x)=Komb(36;x)×〖0,0138〗^x×〖0,9862〗^(36-x) mit Skateinsicht.
Tabelliert sieht das Ganze dann konkret für 36 Spiele so aus :
4 Bauern ohne Skat (mit Skat)
0 x 80,99% (60,71%)
1 x 17,13% (30,51%)
2 x 1,76% (7,45%)
3 x 0,12% (1,18%)
4 x 0,0057% (0,14%)
5 x 0,0002%
(0,012%)Demnach ist festzuhalten, dass der Kollege schon einen außergewöhnlichen Lauf hatte. Fünf mal Vier Bauern auf der Hand, hat man selbst mit Skateinsicht nur alle 8.250 Serien.
Diese Zahlen mögen dem geneigten Leser wahrscheinlich sehr niedrig vorkommen. Deshalb noch zwei Anmerkungen dazu. Zum einen hat am Tisch eben der Zufall doch manchmal ein Gedächtnis.... durch schlechtes Kartenmischen.
Dies machte solche Häufungen dann durchaus wahrscheinlicher.
Zum anderen werden zu einem Turnier meist zwei Serien gespielt. Und die Erinnerung an einen "Lauf" bezieht sich dann meist auf beide Serien. Dabei darf in diesem Falle die geringe Wahrscheinlichkeit für einen solchen nicht einfach verdoppelt werden, sondern sie steigt recht progressiv an.
Für 72 Spiele sieht die Situation dann schon so aus :
4 Bauern ohne Skat (mit Skat)
0 x 65,59% (36,86%)
1 x 27,74% (37,04%)
2 x 5,78% (18,35%)
3 x 0,79% (5,98%)
4 x 0,08% (1,44%)
5 x 0,006% (0,27%)
Mit 0,27% ist ein Lauf von 5x Vier Buben zwar immer noch sehr gering, jedoch schon 23 Mal wahrscheinlicher....
Ich hatte im letzten 3-Serien-Turnier übrigens genau ein Mal !! vier Buben….
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